Страница 179 номер 24.27, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Дано: \(\cos(5^\circ + \alpha) = 0{,}6\), \(0^\circ < \alpha < 55^\circ\). Найдите \(\operatorname{tg}(35^\circ + \alpha)\).
Так как \(0^\circ < \alpha < 55^\circ\), то \(5^\circ < 5^\circ + \alpha < 60^\circ\), поэтому \(\sin(5^\circ + \alpha) > 0\) и \[\sin(5^\circ + \alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(5^\circ + \alpha)} = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8.\] \(\operatorname{tg}(5^\circ + \alpha) = \frac{\sin(5^\circ + \alpha)}{\cos(5^\circ + \alpha)} = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3}\).
\(35^\circ < 35^\circ + \alpha < 90^\circ\), поэтому \(\cos(35^\circ + \alpha) \ne 0\). Так как \(35^\circ + \alpha = (5^\circ + \alpha) + 30^\circ\), то \[\begin{aligned} &\operatorname{tg}(35^\circ + \alpha) = \frac{\operatorname{tg}(5^\circ + \alpha) + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 - \operatorname{tg}(5^\circ + \alpha)\operatorname{tg} 30^\circ} = \frac{\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = {} \\ &= \frac{4 + \sqrt{3}}{3} : \frac{9 - 4\sqrt{3}}{9} = \frac{3(4 + \sqrt{3})}{9 - 4\sqrt{3}}. \end{aligned}\] Умножим числитель и знаменатель дроби на \(9 + 4\sqrt{3}\): \[\frac{3(4 + \sqrt{3})}{9 - 4\sqrt{3}} = \frac{3(4 + \sqrt{3})(9 + 4\sqrt{3})}{(9 - 4\sqrt{3})(9 + 4\sqrt{3})} = \frac{3(48 + 25\sqrt{3})}{81 - 48} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{11}.\]
Ответ: \(\operatorname{tg}(35^\circ + \alpha) = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{11}\).
Дано: \(\cos(5^\circ + \alpha) = 0{,}6\), \(0^\circ < \alpha < 55^\circ\). Найдите \(\operatorname{tg}(35^\circ + \alpha)\).
Так как \(0^\circ < \alpha < 55^\circ\), то \(5^\circ < 5^\circ + \alpha < 60^\circ\), поэтому \(\sin(5^\circ + \alpha) > 0\) и \[\sin(5^\circ + \alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(5^\circ + \alpha)} = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8.\] Тогда \(\operatorname{tg}(5^\circ + \alpha) = \frac{\sin(5^\circ + \alpha)}{\cos(5^\circ + \alpha)} = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3}\).
Кроме того, \(35^\circ < 35^\circ + \alpha < 90^\circ\), поэтому \(\cos(35^\circ + \alpha) \ne 0\). Так как \(35^\circ + \alpha = (5^\circ + \alpha) + 30^\circ\), то по формуле тангенса суммы \[\begin{aligned} &\operatorname{tg}(35^\circ + \alpha) = \frac{\operatorname{tg}(5^\circ + \alpha) + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 - \operatorname{tg}(5^\circ + \alpha)\operatorname{tg} 30^\circ} = \frac{\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = {} \\ &= \frac{4 + \sqrt{3}}{3} : \frac{9 - 4\sqrt{3}}{9} = \frac{3(4 + \sqrt{3})}{9 - 4\sqrt{3}}. \end{aligned}\] Умножим числитель и знаменатель дроби на \(9 + 4\sqrt{3}\): \[\frac{3(4 + \sqrt{3})}{9 - 4\sqrt{3}} = \frac{3(4 + \sqrt{3})(9 + 4\sqrt{3})}{(9 - 4\sqrt{3})(9 + 4\sqrt{3})} = \frac{3(48 + 25\sqrt{3})}{81 - 48} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{11}.\]
Ответ: \(\operatorname{tg}(35^\circ + \alpha) = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{11}\).
