Страница 178 номер 24.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Дано: \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}\), \(\sin\beta = \frac{3}{5}\), \(0 < \beta < \frac{\pi}{2}\). Найдите \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta)\).
Так как \(0 < \beta < \frac{\pi}{2}\), то \(\cos\beta > 0\) и \(\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\).
\(\operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{3}{5} : \frac{4}{5} = \frac{3}{4}\).
\[\begin{aligned} &\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}} = {} \\ &= \frac{5}{4} : \frac{5}{8} = 2. \end{aligned}\]
Ответ: \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = 2\).
Дано: \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}\), \(\sin\beta = \frac{3}{5}\), \(0 < \beta < \frac{\pi}{2}\). Найдите \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta)\).
Так как \(0 < \beta < \frac{\pi}{2}\), то \(\cos\beta > 0\), следовательно, \(\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\). Тогда \(\operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{3}{5} : \frac{4}{5} = \frac{3}{4}\).
По формуле тангенса суммы: \[\begin{aligned} &\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}} = {} \\ &= \frac{5}{4} : \frac{5}{8} = 2. \end{aligned}\]
Ответ: \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = 2\).
