Страница 178 номер 24.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Выражение имеет смысл при \(\sin\frac{\alpha}{4} \ne 0\). Запишем котангенс как отношение косинуса к синусу, приведём к общему знаменателю и применим формулу косинуса разности: \[\begin{aligned} &\cos\frac{\alpha}{2}\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} + \sin\frac{\alpha}{2} = {} \\ &= \frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} = \frac{\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{4}\right)}{\sin\frac{\alpha}{4}} = {} \\ &= \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} = \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4}. \end{aligned}\]

2) Выражение содержит \(\operatorname{tg}\alpha\) и \(\operatorname{tg} 2\alpha\), они определены при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos 2\alpha \ne 0\). При этих условиях запишем тангенсы как отношения синусов к косинусам, умножим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\cos 2\alpha \ne 0\) и применим формулу косинуса разности; знаменатель окажется равным \(\cos\alpha \ne 0\), на него дробь и сократим: \[\begin{aligned} &\frac{1}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg} 2\alpha} = \frac{1}{1 + \frac{\sin\alpha\sin 2\alpha}{\cos\alpha\cos 2\alpha}} = \frac{\cos\alpha\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha\cos\alpha + \sin 2\alpha\sin\alpha} = {} \\ &= \frac{\cos\alpha\cos 2\alpha}{\cos(2\alpha - \alpha)} = \frac{\cos\alpha\cos 2\alpha}{\cos\alpha} = \cos 2\alpha. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4}\); 2) \(\cos 2\alpha\).