Страница 173 номер 23.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Выражение имеет смысл при \(\sin\beta \ne 0\) и \(\cos\beta \ne 0\), что при \(\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}\) выполнено. \[\begin{aligned} &\sqrt{\cos^2\beta(1 + \operatorname{tg}\beta) + \sin^2\beta(1 + \operatorname{ctg}\beta)} = {} \\ &= \sqrt{\cos^2\beta + \cos^2\beta \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \sin^2\beta + \sin^2\beta \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta}} = {} \\ &= \sqrt{\cos^2\beta + 2\sin\beta\cos\beta + \sin^2\beta} = \sqrt{(\sin\beta + \cos\beta)^2} = {} \\ &= |\sin\beta + \cos\beta|. \end{aligned}\] Так как \(\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}\), то \(\sin\beta < 0\), \(\cos\beta < 0\). Поэтому \(\sin\beta + \cos\beta < 0\). Следовательно, \(|\sin\beta + \cos\beta| = -\sin\beta - \cos\beta\).

2) Выражение имеет смысл при \(\sin\alpha \ne 0\), \(\cos\alpha \ne 0\), \(\sin\beta \ne 0\) и \(\cos\beta \ne 0\), что при данных \(\alpha\) и \(\beta\) выполнено. Так как \(1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha\) и \(1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta\), то \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{1 - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha\cos^2\beta}}{\operatorname{tg}\beta\operatorname{ctg}\alpha} = \frac{\sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\alpha\cos^2\beta}}{\operatorname{tg}\beta\operatorname{ctg}\alpha} = {} \\ &= \frac{\sqrt{\cos^2\alpha(1 - \cos^2\beta)}}{\operatorname{tg}\beta\operatorname{ctg}\alpha} = \frac{\sqrt{\cos^2\alpha\sin^2\beta}}{\operatorname{tg}\beta\operatorname{ctg}\alpha} = \frac{|\cos\alpha\sin\beta|}{\operatorname{tg}\beta\operatorname{ctg}\alpha}. \end{aligned}\] Так как \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), то \(\cos\alpha < 0\); так как \(\frac{\pi}{2} < \beta < \pi\), то \(\sin\beta > 0\). Поэтому \(\cos\alpha\sin\beta < 0\) и \(|\cos\alpha\sin\beta| = -\cos\alpha\sin\beta\). Учитывая, что \(\frac{1}{\operatorname{tg}\beta} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}\) и \(\frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), и сокращая на \(\sin\beta\) и \(\cos\alpha\), получаем: \[\frac{|\cos\alpha\sin\beta|}{\operatorname{tg}\beta\operatorname{ctg}\alpha} = -\cos\alpha\sin\beta \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sin\alpha\cos\beta.\]

3) Так как \(2 - 2\cos^2\beta = 2\sin^2\beta\) и \(2\sin^2\beta - 2\sqrt{2}\sin\beta + 1 = (\sqrt{2}\sin\beta - 1)^2\), то \[\begin{aligned} &\sqrt{2 - 2\cos^2\beta} + \sqrt{2\sin^2\beta - 2\sqrt{2}\sin\beta + 1} = {} \\ &= \sqrt{2\sin^2\beta} + \sqrt{(\sqrt{2}\sin\beta - 1)^2} = \sqrt{2}|\sin\beta| + |\sqrt{2}\sin\beta - 1|. \end{aligned}\] Функция \(y = \sin x\) убывает на промежутке \(\left[\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right]\), поэтому при \(\frac{3\pi}{4} \leqslant \beta \leqslant \pi\) имеем \(\sin\pi \leqslant \sin\beta \leqslant \sin\frac{3\pi}{4}\), то есть \(0 \leqslant \sin\beta \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\). Значит, \(|\sin\beta| = \sin\beta\), а \(\sqrt{2}\sin\beta \leqslant 1\) и \(|\sqrt{2}\sin\beta - 1| = 1 - \sqrt{2}\sin\beta\). Следовательно, \[\sqrt{2}|\sin\beta| + |\sqrt{2}\sin\beta - 1| = \sqrt{2}\sin\beta + 1 - \sqrt{2}\sin\beta = 1.\]

Ответ: 1) \(-\sin\beta - \cos\beta\); 2) \(-\sin\alpha\cos\beta\); 3) \(1\).