Страница 201 номер 27.25, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите равенство \(\cos \frac{\pi}{n} + \cos \frac{3\pi}{n} + \ldots + \cos \frac{(2n - 1)\pi}{n} = 0\).
При \(n = 1\) левая часть равна \(\cos\pi = -1\), поэтому равенство доказываем при \(n \geqslant 2\).
При \(n \geqslant 2\) имеем \(0 < \frac{\pi}{n} \leqslant \frac{\pi}{2}\), поэтому \(\sin\frac{\pi}{n} \ne 0\); умножим и разделим левую часть на \(2\sin\frac{\pi}{n}\). \[\begin{aligned} 2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n} &= \sin 0 + \sin\frac{2\pi}{n} = \sin\frac{2\pi}{n}; \\ 2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{3\pi}{n} &= -\sin\frac{2\pi}{n} + \sin\frac{4\pi}{n}; \\ &\ldots \\ 2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{(2n - 1)\pi}{n} &= -\sin\frac{(2n - 2)\pi}{n} + \sin\frac{2n\pi}{n}. \end{aligned}\] Сумма этих произведений равна \(\sin\frac{2n\pi}{n} = \sin 2\pi = 0\), поэтому \[\cos\frac{\pi}{n} + \cos\frac{3\pi}{n} + \ldots + \cos\frac{(2n - 1)\pi}{n} = \frac{0}{2\sin\frac{\pi}{n}} = 0.\]
Ответ: равенство \(\cos\frac{\pi}{n} + \cos\frac{3\pi}{n} + \ldots + \cos\frac{(2n - 1)\pi}{n} = 0\) верно при \(n \geqslant 2\).
Докажите равенство \(\cos \frac{\pi}{n} + \cos \frac{3\pi}{n} + \ldots + \cos \frac{(2n - 1)\pi}{n} = 0\).
При \(n = 1\) левая часть равна \(\cos\pi = -1\), поэтому равенство доказываем при \(n \geqslant 2\).
При \(n \geqslant 2\) имеем \(0 < \frac{\pi}{n} \leqslant \frac{\pi}{2}\), поэтому \(\sin\frac{\pi}{n} \ne 0\); умножим и разделим левую часть на \(2\sin\frac{\pi}{n}\). Произведения, которые получатся в числителе, преобразуем в суммы по формуле \(\sin x\cos y = \frac{1}{2}(\sin(x - y) + \sin(x + y))\) с учётом нечётности синуса: \[\begin{aligned} 2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n} &= \sin 0 + \sin\frac{2\pi}{n} = \sin\frac{2\pi}{n}; \\ 2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{3\pi}{n} &= -\sin\frac{2\pi}{n} + \sin\frac{4\pi}{n}; \\ &\ldots \\ 2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{(2n - 1)\pi}{n} &= -\sin\frac{(2n - 2)\pi}{n} + \sin\frac{2n\pi}{n}. \end{aligned}\] Сумма этих произведений равна \(\sin\frac{2n\pi}{n} = \sin 2\pi = 0\), поэтому \[\cos\frac{\pi}{n} + \cos\frac{3\pi}{n} + \ldots + \cos\frac{(2n - 1)\pi}{n} = \frac{0}{2\sin\frac{\pi}{n}} = 0.\]
Ответ: равенство \(\cos\frac{\pi}{n} + \cos\frac{3\pi}{n} + \ldots + \cos\frac{(2n - 1)\pi}{n} = 0\) верно при \(n \geqslant 2\).
