Страница 120 номер 192, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Студенты сдают в сессию три экзамена A, B, C. Вероятность сдачи по каждому из них составляет соответственно 0,6, 0,5, 0,9. Известно, что студент Разгуляев сдал не все экзамены. С какой вероятностью он сдал экзамен A? экзамен B? экзамен C?
Будем считать, что экзамены сдаются независимо друг от друга: без этого допущения ответить на вопрос нельзя. \(H_A\) = «Разгуляев сдал экзамен A», \(H_B\) = «сдал экзамен B», \(H_C\) = «сдал экзамен C», \(D\) = «Разгуляев сдал не все экзамены»; \(P(H_A) = 0{,}6\), \(P(H_B) = 0{,}5\), \(P(H_C) = 0{,}9\).
\(0{,}6 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}9 = 0{,}27\) — вероятность события «сданы все три экзамена» (правило умножения для независимых событий).
\(P(D) = 1 - 0{,}27 = 0{,}73\) — событие \(D\) противоположно событию «сданы все три экзамена».
Экзамен A: полная группа из двух событий \(H_A\) и \(\overline{H}_A\).
\(P(D \mid H_A) = 1 - 0{,}5 \cdot 0{,}9 = 0{,}55\) — экзамен A сдан, значит, экзамены B и C сданы не оба.
\(P(D \mid \overline{H}_A) = 1\) — экзамен A не сдан, событие \(D\) достоверно.
\(P(D) = 0{,}6 \cdot 0{,}55 + 0{,}4 \cdot 1 = 0{,}33 + 0{,}4 = 0{,}73\) — формула полной вероятности даёт то же значение.
По формуле Байеса
\[P(H_A \mid D) = \frac{P(H_A) \cdot P(D \mid H_A)}{P(D)} = \frac{0{,}6 \cdot 0{,}55}{0{,}73} = \frac{0{,}33}{0{,}73} = \frac{33}{73} \approx 0{,}452.\]
Экзамен B: если он сдан, то экзамены A и C сданы не оба, \(P(D \mid H_B) = 1 - 0{,}6 \cdot 0{,}9 = 0{,}46\), и
\[P(H_B \mid D) = \frac{P(H_B) \cdot P(D \mid H_B)}{P(D)} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}46}{0{,}73} = \frac{0{,}23}{0{,}73} = \frac{23}{73} \approx 0{,}315.\]
Экзамен C: если он сдан, то экзамены A и B сданы не оба, \(P(D \mid H_C) = 1 - 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}7\), и
\[P(H_C \mid D) = \frac{P(H_C) \cdot P(D \mid H_C)}{P(D)} = \frac{0{,}9 \cdot 0{,}7}{0{,}73} = \frac{0{,}63}{0{,}73} = \frac{63}{73} \approx 0{,}863.\]
Ответ: вероятность того, что Разгуляев сдал экзамен A, равна \(\frac{33}{73} \approx 0{,}452\); экзамен B — \(\frac{23}{73} \approx 0{,}315\); экзамен C — \(\frac{63}{73} \approx 0{,}863\).
Студенты сдают в сессию три экзамена A, B, C. Вероятность сдачи по каждому из них составляет соответственно 0,6, 0,5, 0,9. Известно, что студент Разгуляев сдал не все экзамены. С какой вероятностью он сдал экзамен A? экзамен B? экзамен C?
Будем считать, что экзамены сдаются независимо друг от друга: без этого допущения ответить на вопрос нельзя. Обозначим события: \(H_A\) = «Разгуляев сдал экзамен A», \(H_B\) = «сдал экзамен B», \(H_C\) = «сдал экзамен C», \(D\) = «Разгуляев сдал не все экзамены». По условию \(P(H_A) = 0{,}6\), \(P(H_B) = 0{,}5\), \(P(H_C) = 0{,}9\).
Событие \(D\) противоположно событию «сданы все три экзамена», вероятность которого по правилу умножения для независимых событий равна \(0{,}6 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}9 = 0{,}27\). Значит, \(P(D) = 1 - 0{,}27 = 0{,}73\).
Для экзамена A возьмём полную группу из двух событий: \(H_A\) и \(\overline{H}_A\). Если экзамен A сдан, событие \(D\) означает, что экзамены B и C сданы не оба: \(P(D \mid H_A) = 1 - 0{,}5 \cdot 0{,}9 = 0{,}55\). Если экзамен A не сдан, событие \(D\) достоверно: \(P(D \mid \overline{H}_A) = 1\). Формула полной вероятности даёт то же значение \(P(D) = 0{,}6 \cdot 0{,}55 + 0{,}4 \cdot 1 = 0{,}33 + 0{,}4 = 0{,}73\). По формуле Байеса
\[P(H_A \mid D) = \frac{P(H_A) \cdot P(D \mid H_A)}{P(D)} = \frac{0{,}6 \cdot 0{,}55}{0{,}73} = \frac{0{,}33}{0{,}73} = \frac{33}{73} \approx 0{,}452.\]
Для экзамена B так же: если он сдан, то экзамены A и C сданы не оба, \(P(D \mid H_B) = 1 - 0{,}6 \cdot 0{,}9 = 0{,}46\), и
\[P(H_B \mid D) = \frac{P(H_B) \cdot P(D \mid H_B)}{P(D)} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}46}{0{,}73} = \frac{0{,}23}{0{,}73} = \frac{23}{73} \approx 0{,}315.\]
Для экзамена C: если он сдан, то экзамены A и B сданы не оба, \(P(D \mid H_C) = 1 - 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}7\), и
\[P(H_C \mid D) = \frac{P(H_C) \cdot P(D \mid H_C)}{P(D)} = \frac{0{,}9 \cdot 0{,}7}{0{,}73} = \frac{0{,}63}{0{,}73} = \frac{63}{73} \approx 0{,}863.\]
Известие о том, что сданы не все экзамены, уменьшило вероятность сдачи каждого из них: до опыта — \(0{,}6\), \(0{,}5\) и \(0{,}9\), после — примерно \(0{,}452\), \(0{,}315\) и \(0{,}863\).
Ответ: вероятность того, что Разгуляев сдал экзамен A, равна \(\frac{33}{73} \approx 0{,}452\); экзамен B — \(\frac{23}{73} \approx 0{,}315\); экзамен C — \(\frac{63}{73} \approx 0{,}863\).
