Страница 120 номер 197, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(H\) = «пациент действительно болен», \(\overline{H}\) = «пациент здоров», \(A\) = «ПЦР-тест положительный». Доли случаев будем считать вероятностями:
\(P(A \mid H) = 0{,}86\) — у больного тест подтверждает заболевание в 86% случаев;
\(P(A \mid \overline{H}) = 1 - 0{,}94 = 0{,}06\) — у здорового тест выявляет отсутствие заболевания в 94% случаев, а в остальных оказывается положительным;
\(P(A) = 0{,}1\) — тест положителен у 10% всех пациентов, направленных на тестирование.
Вероятность \(P(H)\) в условии не дана; обозначим \(P(H) = x\), тогда \(P(\overline{H}) = 1 - x\) и по формуле полной вероятности
\[\begin{aligned} 0{,}86x + 0{,}06(1 - x) &= 0{,}1; \\ 0{,}8x + 0{,}06 &= 0{,}1; \qquad | -0{,}06 \\ 0{,}8x &= 0{,}04; \qquad | : 0{,}8 \\ x &= 0{,}05. \end{aligned}\]
Значит, \(P(H) = 0{,}05\). По формуле Байеса
\[P(H \mid A) = \frac{P(H) \cdot P(A \mid H)}{P(A)} = \frac{0{,}05 \cdot 0{,}86}{0{,}1} = \frac{0{,}043}{0{,}1} = 0{,}43.\]
Ответ: вероятность того, что пациент с положительным ПЦР-тестом действительно имеет это заболевание, равна \(0{,}43\).
Пусть \(H\) = «пациент действительно болен», \(\overline{H}\) = «пациент здоров», \(A\) = «ПЦР-тест положительный». Доли случаев будем считать вероятностями:
\(P(A \mid H) = 0{,}86\) — у больного тест подтверждает заболевание в 86% случаев;
\(P(A \mid \overline{H}) = 1 - 0{,}94 = 0{,}06\) — у здорового тест выявляет отсутствие заболевания в 94% случаев, а в остальных оказывается положительным;
\(P(A) = 0{,}1\) — тест положителен у 10% всех пациентов, направленных на тестирование.
Вероятность \(P(H)\) в условии не дана; найдём её из формулы полной вероятности \(P(A) = P(H) \cdot P(A \mid H) + P(\overline{H}) \cdot P(A \mid \overline{H})\). Обозначим \(P(H) = x\), тогда \(P(\overline{H}) = 1 - x\) и
\[\begin{aligned} 0{,}86x + 0{,}06(1 - x) &= 0{,}1; \\ 0{,}8x + 0{,}06 &= 0{,}1; \qquad | -0{,}06 \\ 0{,}8x &= 0{,}04; \qquad | : 0{,}8 \\ x &= 0{,}05. \end{aligned}\]
Значит, \(P(H) = 0{,}05\): болен в среднем каждый двадцатый пациент, направленный на тест. По формуле Байеса
\[P(H \mid A) = \frac{P(H) \cdot P(A \mid H)}{P(A)} = \frac{0{,}05 \cdot 0{,}86}{0{,}1} = \frac{0{,}043}{0{,}1} = 0{,}43.\]
Ответ: вероятность того, что пациент с положительным ПЦР-тестом действительно имеет это заболевание, равна \(0{,}43\).
