Страница 120 номер 195, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Три стрелка A, B, C попадают по мишени с вероятностями 0,7, 0,8 и 0,9 соответственно, независимо друг от друга. Все стрелки выстрелили по разу, и один выстрел достиг цели. Какова вероятность, что попал стрелок A? Что A промахнулся?
Стрелки A, B, C попадают в мишень независимо друг от друга.
\(1 - 0{,}7 = 0{,}3\) — вероятность промаха стрелка A.
\(1 - 0{,}8 = 0{,}2\) — вероятность промаха стрелка B.
\(1 - 0{,}9 = 0{,}1\) — вероятность промаха стрелка C.
«Один выстрел достиг цели» — значит, попал ровно один стрелок, а двое промахнулись. \(H\) = «стрелок A попал», \(\overline{H}\) = «стрелок A промахнулся», \(D\) = «цели достиг ровно один выстрел»; \(P(H) = 0{,}7\), \(P(\overline{H}) = 0{,}3\).
\(P(D \mid H) = 0{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}02\) — A попал, значит, стрелки B и C оба промахнулись.
\(P(D \mid \overline{H}) = 0{,}8 \cdot 0{,}1 + 0{,}2 \cdot 0{,}9 = 0{,}08 + 0{,}18 = 0{,}26\) — A промахнулся, значит, попал ровно один из стрелков B и C: B попал, а C промахнулся, или B промахнулся, а C попал; эти случаи несовместны.
По формуле полной вероятности
\[P(D) = 0{,}7 \cdot 0{,}02 + 0{,}3 \cdot 0{,}26 = 0{,}014 + 0{,}078 = 0{,}092.\]
По формуле Байеса
\[\begin{aligned} P(H \mid D) &= \frac{P(H) \cdot P(D \mid H)}{P(D)} = \frac{0{,}014}{0{,}092} = \frac{7}{46} \approx 0{,}152; \\ P(\overline{H} \mid D) &= \frac{P(\overline{H}) \cdot P(D \mid \overline{H})}{P(D)} = \frac{0{,}078}{0{,}092} = \frac{39}{46} \approx 0{,}848. \end{aligned}\]
Ответ: вероятность того, что попал стрелок A, равна \(\frac{7}{46} \approx 0{,}152\); вероятность того, что A промахнулся, — \(\frac{39}{46} \approx 0{,}848\).
Три стрелка A, B, C попадают по мишени с вероятностями 0,7, 0,8 и 0,9 соответственно, независимо друг от друга. Все стрелки выстрелили по разу, и один выстрел достиг цели. Какова вероятность, что попал стрелок A? Что A промахнулся?
Стрелки A, B, C попадают в мишень с вероятностями \(0{,}7\), \(0{,}8\) и \(0{,}9\) независимо друг от друга, а промахиваются с вероятностями \(1 - 0{,}7 = 0{,}3\), \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\) и \(1 - 0{,}9 = 0{,}1\). «Один выстрел достиг цели» — значит, попал ровно один стрелок, а двое промахнулись.
Пусть \(H\) = «стрелок A попал», \(\overline{H}\) = «стрелок A промахнулся», \(D\) = «цели достиг ровно один выстрел». По условию \(P(H) = 0{,}7\), \(P(\overline{H}) = 0{,}3\).
Если A попал, событие \(D\) означает, что стрелки B и C оба промахнулись: \(P(D \mid H) = 0{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}02\). Если A промахнулся, попасть должен ровно один из стрелков B и C: B попал, а C промахнулся, или B промахнулся, а C попал; эти случаи несовместны, поэтому \(P(D \mid \overline{H}) = 0{,}8 \cdot 0{,}1 + 0{,}2 \cdot 0{,}9 = 0{,}08 + 0{,}18 = 0{,}26\).
По формуле полной вероятности
\[P(D) = 0{,}7 \cdot 0{,}02 + 0{,}3 \cdot 0{,}26 = 0{,}014 + 0{,}078 = 0{,}092.\]
По формуле Байеса
\[\begin{aligned} P(H \mid D) &= \frac{P(H) \cdot P(D \mid H)}{P(D)} = \frac{0{,}014}{0{,}092} = \frac{7}{46} \approx 0{,}152; \\ P(\overline{H} \mid D) &= \frac{P(\overline{H}) \cdot P(D \mid \overline{H})}{P(D)} = \frac{0{,}078}{0{,}092} = \frac{39}{46} \approx 0{,}848. \end{aligned}\]
Ответ: вероятность того, что попал стрелок A, равна \(\frac{7}{46} \approx 0{,}152\); вероятность того, что A промахнулся, — \(\frac{39}{46} \approx 0{,}848\).
