Страницы 93-94 номер 10.5, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

В каждом пункте нужно найти первообразную \(F\) функции \(f\) на промежутке \(I\), удовлетворяющую данному условию. По основному свойству первообразной любая первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\) получается из одной найденной первообразной прибавлением некоторого числа \(C\). Это число находим из данного условия.

1) \(f(x) = 1 - 2x\), \(I = (-\infty;\ +\infty)\), \(F(3) = 2\). Искомая первообразная имеет вид \(F(x) = x - x^2 + C\), где \(C\) — некоторое число. Из условия \(F(3) = 2\) получаем \(3 - 3^2 + C = 2\), отсюда \(C = 8\). Значит, \(F(x) = x - x^2 + 8\).

2) \(f(x) = 3x^2 - 4x\), \(I = (-\infty;\ +\infty)\), \(F(1) = 4\). Искомая первообразная имеет вид \(F(x) = x^3 - 2x^2 + C\), где \(C\) — некоторое число. Из условия \(F(1) = 4\) получаем \(1 - 2 + C = 4\), отсюда \(C = 5\). Значит, \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5\).

3) \(f(x) = \frac{1}{3}\sin\frac{x}{3} + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}\), \(I = (-\infty;\ +\infty)\), \(F(\pi) = 7\). По правилу нахождения первообразной функции \(y = f(kx + b)\) первообразная функции \(\sin\frac{x}{3}\) — функция \(-3\cos\frac{x}{3}\) (\(k = \frac{1}{3}\)), а первообразная функции \(\cos\frac{x}{2}\) — функция \(2\sin\frac{x}{2}\) (\(k = \frac{1}{2}\)). Поэтому с учётом множителей \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{1}{2}\) искомая первообразная имеет вид \(F(x) = -\cos\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{2} + C\), где \(C\) — некоторое число. Из условия \(F(\pi) = 7\) получаем: \[\begin{aligned} -\cos\frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{2} + C &= 7; \\ -\frac{1}{2} + 1 + C &= 7; \\ C &= 6{,}5. \end{aligned}\]

Значит, \(F(x) = -\cos\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{2} + 6{,}5\).

4) \(f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right)\), \(I = (-\infty;\ +\infty)\), \(F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\). Первообразная функции \(\cos x\) — функция \(\sin x\); здесь \(\frac{\pi}{4} - 3x = -3x + \frac{\pi}{4}\), \(k = -3\). Поэтому искомая первообразная имеет вид \(F(x) = -\frac{1}{3}\sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) + C\), где \(C\) — некоторое число. Из условия \(F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\) получаем: \[\begin{aligned} -\frac{1}{3}\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}\right) + C &= 2; \\ -\frac{1}{3}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + C &= 2; \\ \frac{1}{3} + C &= 2; \\ C &= \frac{5}{3}. \end{aligned}\]

Значит, \(F(x) = -\frac{1}{3}\sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) + \frac{5}{3}\). Синус — нечётная функция, поэтому \(-\sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\) и \(F(x) = \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{5}{3}\).

5) \(f(x) = 4 - \frac{1}{x^2}\), \(I = (0;\ +\infty)\), \(F\left(\frac{1}{4}\right) = 1\). Первообразная функции \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\) — функция \(\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}\), поэтому искомая первообразная имеет вид \(F(x) = 4x + \frac{1}{x} + C\), где \(C\) — некоторое число. Из условия \(F\left(\frac{1}{4}\right) = 1\) получаем \(1 + 4 + C = 1\), отсюда \(C = -4\). Значит, \(F(x) = 4x + \frac{1}{x} - 4\).

6) \(f(x) = \frac{7}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}}\), \(I = (4;\ +\infty)\), \(F(5) = 6\). Первообразная функции \(\frac{1}{x - 4}\) — функция \(\ln|x - 4|\), а на промежутке \((4;\ +\infty)\) выражение под модулем положительно, поэтому \(|x - 4| = x - 4\). На этом промежутке \(x + 4 > 0\), и первообразная функции \(\frac{1}{\sqrt{x + 4}}\) — функция \(2\sqrt{x + 4}\). Поэтому искомая первообразная имеет вид \(F(x) = 7\ln(x - 4) + 2\sqrt{x + 4} + C\), где \(C\) — некоторое число. Из условия \(F(5) = 6\) получаем \(7\ln 1 + 2\sqrt{9} + C = 6\), то есть \(6 + C = 6\), отсюда \(C = 0\). Значит, \(F(x) = 7\ln(x - 4) + 2\sqrt{x + 4}\).

7) \(f(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 1}}\), \(I = \left(-\frac{1}{6};\ +\infty\right)\), \(F(4) = 7\). На промежутке \(I\) выражение \(6x + 1\) положительно; первообразная функции \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) — функция \(2\sqrt{x}\), здесь \(k = 6\). Поэтому при некотором числе \(C\) искомая первообразная имеет вид \[F(x) = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot 2\sqrt{6x + 1} + C = \sqrt{6x + 1} + C.\]

Из условия \(F(4) = 7\) получаем \(\sqrt{25} + C = 7\), то есть \(5 + C = 7\), отсюда \(C = 2\). Значит, \(F(x) = \sqrt{6x + 1} + 2\).

8) \(f(x) = e^{3x}\), \(I = (-\infty;\ +\infty)\), \(F(0) = 1\). Первообразная функции \(e^x\) — функция \(e^x\), здесь \(k = 3\), поэтому искомая первообразная имеет вид \(F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} + C\), где \(C\) — некоторое число. Из условия \(F(0) = 1\) получаем \(\frac{1}{3}e^{0} + C = 1\), то есть \(\frac{1}{3} + C = 1\), отсюда \(C = \frac{2}{3}\). Значит, \(F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{2}{3}\).

9) \(f(x) = (2 - 3x)^2\), \(I = (-\infty;\ +\infty)\), \(F(1) = 0\). Первообразная функции \(x^2\) — функция \(\frac{x^3}{3}\); здесь \(2 - 3x = -3x + 2\), \(k = -3\). Поэтому при некотором числе \(C\) искомая первообразная имеет вид \[F(x) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(2 - 3x)^3}{3} + C = -\frac{(2 - 3x)^3}{9} + C.\]

Из условия \(F(1) = 0\) получаем \(-\frac{(-1)^3}{9} + C = 0\), то есть \(\frac{1}{9} + C = 0\), отсюда \(C = -\frac{1}{9}\). Значит, \(F(x) = -\frac{(2 - 3x)^3}{9} - \frac{1}{9}\). Поскольку \(-(2 - 3x)^3 = (3x - 2)^3\), получаем \(F(x) = \frac{(3x - 2)^3}{9} - \frac{1}{9}\).

10) \(f(x) = \frac{4}{\cos^2\left(6x - \frac{\pi}{6}\right)}\), \(I = \left(-\frac{\pi}{18};\ \frac{\pi}{9}\right)\), \(F(0) = -\frac{2\sqrt{3}}{9}\). При \(x\) из промежутка \(I\) имеем \(6x \in \left(-\frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3}\right)\) и \(6x - \frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\), а на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) первообразная функции \(\frac{1}{\cos^2 x}\) — функция \(\operatorname{tg} x\); здесь \(k = 6\). Поэтому при некотором числе \(C\) искомая первообразная имеет вид \[F(x) = 4 \cdot \frac{1}{6}\operatorname{tg}\left(6x - \frac{\pi}{6}\right) + C = \frac{2}{3}\operatorname{tg}\left(6x - \frac{\pi}{6}\right) + C.\]

Из условия \(F(0) = -\frac{2\sqrt{3}}{9}\) получаем: \[\begin{aligned} \frac{2}{3}\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) + C &= -\frac{2\sqrt{3}}{9}; \\ -\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + C &= -\frac{2\sqrt{3}}{9}; \\ C &= 0. \end{aligned}\]

Значит, \(F(x) = \frac{2}{3}\operatorname{tg}\left(6x - \frac{\pi}{6}\right)\).

Ответ: 1) \(F(x) = x - x^2 + 8\); 2) \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5\); 3) \(F(x) = -\cos\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{2} + 6{,}5\); 4) \(F(x) = \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{5}{3}\); 5) \(F(x) = 4x + \frac{1}{x} - 4\); 6) \(F(x) = 7\ln(x - 4) + 2\sqrt{x + 4}\); 7) \(F(x) = \sqrt{6x + 1} + 2\); 8) \(F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{2}{3}\); 9) \(F(x) = \frac{(3x - 2)^3}{9} - \frac{1}{9}\); 10) \(F(x) = \frac{2}{3}\operatorname{tg}\left(6x - \frac{\pi}{6}\right)\).