Страница 173 номер 23.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Так как \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}\), то \(\cos\alpha \ne 0\) (иначе \(\operatorname{tg}\alpha\) не определён). Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\): \[\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 7\cos\alpha} = \frac{5 + 6\operatorname{tg}\alpha}{3\operatorname{tg}\alpha - 7} = \frac{5 + 3}{\frac{3}{2} - 7} = 8 : \left(-\frac{11}{2}\right) = -\frac{16}{11}.\]

2) Так как \(\operatorname{tg}\alpha = -4\), то \(\cos\alpha \ne 0\) (иначе \(\operatorname{tg}\alpha\) не определён). Умножим знаменатель на \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), чтобы числитель и знаменатель стали суммами слагаемых третьей степени относительно \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\), и разделим числитель и знаменатель на \(\cos^3\alpha\): \[\begin{aligned} &\frac{2\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha}{5\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{2\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha}{(5\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)} = {} \\ &= \frac{2\operatorname{tg}^3\alpha + 3}{(5\operatorname{tg}\alpha - 1)(\operatorname{tg}^2\alpha + 1)} = \frac{2 \cdot (-4)^3 + 3}{(5 \cdot (-4) - 1)((-4)^2 + 1)} = {} \\ &= \frac{-125}{-21 \cdot 17} = \frac{125}{357}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(-\frac{16}{11}\); 2) \(\frac{125}{357}\).