Страница 172 номер 23.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите тождество: 1) \(\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \cos \alpha - \sin \alpha\); 2) \(\frac{\sqrt{3} - 2\sin \alpha}{2\cos \alpha - 1} = \frac{1 + 2\cos \alpha}{2\sin \alpha + \sqrt{3}}\); 3) \(\frac{\sin \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha\); 4) \(\frac{\sin^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^4 \alpha\).
1) Знаменатель левой части в нуль не обращается: \(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 \geqslant 0\), поэтому \(\sin\alpha\cos\alpha \geqslant -\frac{1}{2}\) и \(1 + \sin\alpha\cos\alpha \geqslant \frac{1}{2}\). \[\begin{aligned} &\frac{\cos^3\alpha - \sin^3\alpha}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} = \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos^2\alpha + \cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha)}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha\cos\alpha)}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} = \cos\alpha - \sin\alpha. \end{aligned}\]
2) Обе части имеют смысл при \(\cos\alpha \ne \frac{1}{2}\) и \(\sin\alpha \ne -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Разность левой и правой частей: \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{3} - 2\sin\alpha}{2\cos\alpha - 1} - \frac{1 + 2\cos\alpha}{2\sin\alpha + \sqrt{3}} = {} \\ &= \frac{(\sqrt{3} - 2\sin\alpha)(\sqrt{3} + 2\sin\alpha) - (2\cos\alpha + 1)(2\cos\alpha - 1)}{(2\cos\alpha - 1)(2\sin\alpha + \sqrt{3})} = {} \\ &= \frac{3 - 4\sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha + 1}{(2\cos\alpha - 1)(2\sin\alpha + \sqrt{3})} = \frac{4 - 4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{(2\cos\alpha - 1)(2\sin\alpha + \sqrt{3})} = {} \\ &= \frac{4 - 4}{(2\cos\alpha - 1)(2\sin\alpha + \sqrt{3})} = 0. \end{aligned}\] Разность частей равна нулю, значит, левая часть равна правой.
3) Обе части имеют смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne -1\); при этих условиях \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha\cos\alpha\) и \(1 + \cos\alpha \ne 0\): \[\frac{\sin\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{\operatorname{tg}\alpha\cos\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{\operatorname{tg}\alpha(\cos\alpha + 1)}{1 + \cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha.\]
4) Обе части имеют смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\): при \(\cos\alpha = 0\) не определена правая часть, а знаменатель левой части \(\operatorname{ctg}^2\alpha - \cos^2\alpha\) равен нулю. Умножим числитель и знаменатель левой части на \(\sin^2\alpha \ne 0\): \[\begin{aligned} &\frac{\sin^2\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha} = {} \\ &= \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha(1 - \sin^2\alpha)} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \operatorname{tg}^4\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
Докажите тождество: 1) \(\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \cos \alpha - \sin \alpha\); 2) \(\frac{\sqrt{3} - 2\sin \alpha}{2\cos \alpha - 1} = \frac{1 + 2\cos \alpha}{2\sin \alpha + \sqrt{3}}\); 3) \(\frac{\sin \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha\); 4) \(\frac{\sin^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^4 \alpha\).
1) Знаменатель левой части не обращается в нуль: так как \(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 \geqslant 0\), то \(\sin\alpha\cos\alpha \geqslant -\frac{1}{2}\) и \(1 + \sin\alpha\cos\alpha \geqslant \frac{1}{2}\). Числитель разложим по формуле разности кубов и сократим дробь на \(1 + \sin\alpha\cos\alpha\): \[\begin{aligned} &\frac{\cos^3\alpha - \sin^3\alpha}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} = \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos^2\alpha + \cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha)}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha\cos\alpha)}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} = \cos\alpha - \sin\alpha. \end{aligned}\]
2) Обе части имеют смысл при \(\cos\alpha \ne \frac{1}{2}\) и \(\sin\alpha \ne -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Докажем, что разность левой и правой частей равна нулю: \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{3} - 2\sin\alpha}{2\cos\alpha - 1} - \frac{1 + 2\cos\alpha}{2\sin\alpha + \sqrt{3}} = {} \\ &= \frac{(\sqrt{3} - 2\sin\alpha)(\sqrt{3} + 2\sin\alpha) - (2\cos\alpha + 1)(2\cos\alpha - 1)}{(2\cos\alpha - 1)(2\sin\alpha + \sqrt{3})} = {} \\ &= \frac{3 - 4\sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha + 1}{(2\cos\alpha - 1)(2\sin\alpha + \sqrt{3})} = \frac{4 - 4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{(2\cos\alpha - 1)(2\sin\alpha + \sqrt{3})} = {} \\ &= \frac{4 - 4}{(2\cos\alpha - 1)(2\sin\alpha + \sqrt{3})} = 0. \end{aligned}\] Разность частей равна нулю, значит, левая часть равна правой.
3) Обе части имеют смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne -1\). Так как \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha\cos\alpha\), вынесем в числителе \(\operatorname{tg}\alpha\) за скобки и сократим дробь на \(1 + \cos\alpha \ne 0\): \[\frac{\sin\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{\operatorname{tg}\alpha\cos\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{\operatorname{tg}\alpha(\cos\alpha + 1)}{1 + \cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha.\]
4) Обе части имеют смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\): при \(\cos\alpha = 0\) не определена правая часть, а знаменатель левой части \(\operatorname{ctg}^2\alpha - \cos^2\alpha\) равен нулю. Умножим числитель и знаменатель левой части на \(\sin^2\alpha \ne 0\): \[\begin{aligned} &\frac{\sin^2\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha} = {} \\ &= \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha(1 - \sin^2\alpha)} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \operatorname{tg}^4\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
