Вопросы после параграфа §23 на странице 171, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? 2. Какое тождество связывает тангенс и косинус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество? 3. Какое тождество связывает котангенс и синус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество? 4. Какое тождество связывает тангенс и котангенс одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?
Координаты любой точки \(P(x;\ y)\) единичной окружности удовлетворяют уравнению \(x^2 + y^2 = 1\); если точка \(P\) получена поворотом точки \(P_0(1;\ 0)\) на угол \(\alpha\), то её абсцисса равна \(\cos\alpha\), а ордината — \(\sin\alpha\). Точка \(P\) выбрана произвольно, поэтому при любом \(\alpha\) \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.\]
Ответ: основным тригонометрическим тождеством называют равенство \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), верное при любом \(\alpha\).
Пусть \(\cos\alpha \ne 0\). \[\begin{aligned} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1; \qquad | : \cos^2\alpha \\ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 1 &= \frac{1}{\cos^2\alpha}; \\ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha &= \frac{1}{\cos^2\alpha}. \end{aligned}\] Тождество верно при \(\cos\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): при \(\cos\alpha = 0\) не определены ни \(\operatorname{tg}\alpha\), ни \(\frac{1}{\cos^2\alpha}\).
Ответ: \(1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\); тождество верно при \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Пусть \(\sin\alpha \ne 0\). \[\begin{aligned} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1; \qquad | : \sin^2\alpha \\ 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} &= \frac{1}{\sin^2\alpha}; \\ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha &= \frac{1}{\sin^2\alpha}. \end{aligned}\] Тождество верно при \(\sin\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): при \(\sin\alpha = 0\) не определены ни \(\operatorname{ctg}\alpha\), ни \(\frac{1}{\sin^2\alpha}\).
Ответ: \(1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}\); тождество верно при \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
\[\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1.\] Тангенс определён при \(\cos\alpha \ne 0\), котангенс — при \(\sin\alpha \ne 0\), поэтому тождество верно при \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\) и \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то есть при \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Ответ: \(\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 1\); тождество верно при \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\).
1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? 2. Какое тождество связывает тангенс и косинус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество? 3. Какое тождество связывает котангенс и синус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество? 4. Какое тождество связывает тангенс и котангенс одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?
Координаты любой точки \(P(x;\ y)\) единичной окружности удовлетворяют уравнению \(x^2 + y^2 = 1\). Если точка \(P\) получена поворотом точки \(P_0(1;\ 0)\) на угол \(\alpha\), то её абсцисса равна \(\cos\alpha\), а ордината равна \(\sin\alpha\). Точка \(P\) на окружности выбрана произвольно, поэтому при любом \(\alpha\) верно равенство \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.\] Его называют основным тригонометрическим тождеством. Например, при \(\alpha = \frac{\pi}{6}\) получаем \(\sin^2\frac{\pi}{6} + \cos^2\frac{\pi}{6} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\).
Ответ: основным тригонометрическим тождеством называют равенство \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), верное при любом \(\alpha\).
Пусть \(\cos\alpha \ne 0\). Разделим обе части основного тригонометрического тождества на \(\cos^2\alpha\): \[\begin{aligned} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1; \qquad | : \cos^2\alpha \\ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 1 &= \frac{1}{\cos^2\alpha}; \\ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha &= \frac{1}{\cos^2\alpha}. \end{aligned}\] Это тождество верно при всех \(\alpha\), для которых \(\cos\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): при \(\cos\alpha = 0\) не определены ни \(\operatorname{tg}\alpha\), ни дробь \(\frac{1}{\cos^2\alpha}\). Например, при \(\alpha = \frac{\pi}{3}\) получаем \(1 + \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{3} = 1 + 3 = 4\) и \(\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{3}} = 1 : \frac{1}{4} = 4\).
Ответ: \(1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\); тождество верно при \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Пусть \(\sin\alpha \ne 0\). Разделим обе части основного тригонометрического тождества на \(\sin^2\alpha\): \[\begin{aligned} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1; \qquad | : \sin^2\alpha \\ 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} &= \frac{1}{\sin^2\alpha}; \\ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha &= \frac{1}{\sin^2\alpha}. \end{aligned}\] Это тождество верно при всех \(\alpha\), для которых \(\sin\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): при \(\sin\alpha = 0\) не определены ни \(\operatorname{ctg}\alpha\), ни дробь \(\frac{1}{\sin^2\alpha}\). Например, при \(\alpha = \frac{\pi}{6}\) получаем \(1 + \operatorname{ctg}^2\frac{\pi}{6} = 1 + 3 = 4\) и \(\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{6}} = 1 : \frac{1}{4} = 4\).
Ответ: \(1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}\); тождество верно при \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Так как \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) и \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), то \[\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1.\] Тангенс определён при \(\cos\alpha \ne 0\), котангенс — при \(\sin\alpha \ne 0\), поэтому тождество верно при \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\) и \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); эти два условия объединяются в одно: \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\). Из тождества следует, что \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\). Например, \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1\).
Ответ: \(\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 1\); тождество верно при \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\).
