Страница 169 номер 22.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \left(\sqrt{\operatorname{ctg} x}\right)^2\); 2) \(y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}|x|\); 3) \(y = \sqrt{-\operatorname{tg}^2 x}\); 4) \(y = \frac{\operatorname{ctg} x}{|\operatorname{ctg} x|}\); 5) \(y = \operatorname{ctg} x - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x}\); 6) \(y = \frac{1}{\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x}\).
1) Область определения: \(\operatorname{ctg} x\) определён и \(\operatorname{ctg} x \geqslant 0\), то есть \(x \in \left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\); при таких \(x\) имеем \(\left(\sqrt{\operatorname{ctg} x}\right)^2 = \operatorname{ctg} x\).
Значит, график функции — части котангенсоиды \(y = \operatorname{ctg} x\) на промежутках \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\): точки \(\left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ 0\right)\) графику принадлежат, асимптоты графика — прямые \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
2) Область определения функции \(y = \operatorname{tg} x\) симметрична относительно нуля, поэтому \(\operatorname{tg}|x|\) определён при тех же \(x\), что и \(\operatorname{tg} x\): функция \(y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}|x|\) определена при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Если \(x \geqslant 0\), то \(|x| = x\) и \(y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x\).
Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\) и, так как тангенс — нечётная функция, \(y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}(-x) = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0\).
Значит, при \(x \geqslant 0\) график совпадает с графиком функции \(y = 2\operatorname{tg} x\) (асимптоты — прямые \(x = \frac{\pi}{2}\), \(x = \frac{3\pi}{2}\), \(x = \frac{5\pi}{2}\), …), а при \(x < 0\) лежит на оси абсцисс, причём точки \(\left(-\frac{\pi}{2};\ 0\right)\), \(\left(-\frac{3\pi}{2};\ 0\right)\), \(\left(-\frac{5\pi}{2};\ 0\right)\), … графику не принадлежат.
3) Область определения: \(\operatorname{tg} x\) определён и \(-\operatorname{tg}^2 x \geqslant 0\), то есть \(\operatorname{tg}^2 x \leqslant 0\); так как \(\operatorname{tg}^2 x \geqslant 0\), это возможно только при \(\operatorname{tg} x = 0\), то есть при \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); в этих точках \(y = 0\).
Значит, график функции состоит из точек \((\pi n;\ 0)\), \(n \in \mathbf{Z}\).
4) Область определения: \(\operatorname{ctg} x\) определён и не равен нулю, то есть \(x \ne \pi n\) и \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\): все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Если \(\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(\operatorname{ctg} x > 0\) и \(y = 1\).
Если \(\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(\operatorname{ctg} x < 0\) и \(y = -1\).
Значит, график функции состоит из отдельных отрезков прямых \(y = 1\) и \(y = -1\) с выколотыми концами.
5) \(\sqrt{\operatorname{ctg}^2 x} = |\operatorname{ctg} x|\), поэтому \(y = \operatorname{ctg} x - |\operatorname{ctg} x|\); область определения: \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Если \(\operatorname{ctg} x \geqslant 0\), то \(y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0\).
Если \(\operatorname{ctg} x < 0\), то \(y = \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} x = 2\operatorname{ctg} x\).
Значит, на промежутках \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right]\) график лежит на оси абсцисс, а на промежутках \(\left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)\) совпадает с графиком функции \(y = 2\operatorname{ctg} x\); точки \((\pi n;\ 0)\), \(n \in \mathbf{Z}\), графику не принадлежат, асимптоты графика — прямые \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
6) Область определения: определены \(\operatorname{tg} x\) и \(\operatorname{ctg} x\) и их произведение не равно нулю; тангенс определён при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), котангенс — при \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
При остальных \(x\), то есть при \(x \ne \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\), имеем \(\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1\), знаменатель не равен нулю и \(y = 1\).
Значит, график функции — прямая \(y = 1\), из которой выколоты точки \(\left(\frac{\pi n}{2};\ 1\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Постройте график функции: 1) \(y = \left(\sqrt{\operatorname{ctg} x}\right)^2\); 2) \(y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}|x|\); 3) \(y = \sqrt{-\operatorname{tg}^2 x}\); 4) \(y = \frac{\operatorname{ctg} x}{|\operatorname{ctg} x|}\); 5) \(y = \operatorname{ctg} x - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x}\); 6) \(y = \frac{1}{\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x}\).
1) Функция \(y = \left(\sqrt{\operatorname{ctg} x}\right)^2\) определена, когда \(\operatorname{ctg} x\) определён и \(\operatorname{ctg} x \geqslant 0\), то есть при \(x \in \left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\); при таких \(x\) имеем \(\left(\sqrt{\operatorname{ctg} x}\right)^2 = \operatorname{ctg} x\). Значит, график функции — части котангенсоиды \(y = \operatorname{ctg} x\) на промежутках \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\): точки \(\left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ 0\right)\) графику принадлежат, асимптоты графика — прямые \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
2) Область определения функции \(y = \operatorname{tg} x\) симметрична относительно нуля, поэтому \(\operatorname{tg}|x|\) определён при тех же \(x\), что и \(\operatorname{tg} x\): функция \(y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}|x|\) определена при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Если \(x \geqslant 0\), то \(|x| = x\) и \(y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x\). Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\) и, так как тангенс — нечётная функция, \(y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}(-x) = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0\). Значит, при \(x \geqslant 0\) график совпадает с графиком функции \(y = 2\operatorname{tg} x\) (тангенсоида, растянутая от оси абсцисс в 2 раза; асимптоты — прямые \(x = \frac{\pi}{2}\), \(x = \frac{3\pi}{2}\), \(x = \frac{5\pi}{2}\), …), а при \(x < 0\) лежит на оси абсцисс, причём точки \(\left(-\frac{\pi}{2};\ 0\right)\), \(\left(-\frac{3\pi}{2};\ 0\right)\), \(\left(-\frac{5\pi}{2};\ 0\right)\), … графику не принадлежат.
3) Функция \(y = \sqrt{-\operatorname{tg}^2 x}\) определена, когда \(\operatorname{tg} x\) определён и \(-\operatorname{tg}^2 x \geqslant 0\), то есть \(\operatorname{tg}^2 x \leqslant 0\). Так как \(\operatorname{tg}^2 x \geqslant 0\), это возможно только при \(\operatorname{tg} x = 0\), то есть при \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); в этих точках \(y = 0\). Значит, график функции состоит из точек \((\pi n;\ 0)\), \(n \in \mathbf{Z}\).
4) Функция \(y = \frac{\operatorname{ctg} x}{|\operatorname{ctg} x|}\) определена, когда \(\operatorname{ctg} x\) определён и не равен нулю, то есть при \(x \ne \pi n\) и \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\): областью определения являются все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\). Если \(\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(\operatorname{ctg} x > 0\) и \(y = 1\). Если \(\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(\operatorname{ctg} x < 0\) и \(y = -1\). Значит, график функции состоит из отдельных отрезков прямых \(y = 1\) и \(y = -1\) с выколотыми концами.
5) Так как \(\sqrt{\operatorname{ctg}^2 x} = |\operatorname{ctg} x|\), то \(y = \operatorname{ctg} x - |\operatorname{ctg} x|\); функция определена при \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Если \(\operatorname{ctg} x \geqslant 0\), то есть \(x \in \left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0\). Если \(\operatorname{ctg} x < 0\), то есть \(x \in \left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(y = \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} x = 2\operatorname{ctg} x\). Значит, на промежутках \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right]\) график лежит на оси абсцисс, а на промежутках \(\left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)\) совпадает с графиком функции \(y = 2\operatorname{ctg} x\); точки \((\pi n;\ 0)\), \(n \in \mathbf{Z}\), графику не принадлежат, асимптоты графика — прямые \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
6) Функция \(y = \frac{1}{\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x}\) определена, когда определены \(\operatorname{tg} x\) и \(\operatorname{ctg} x\) и их произведение не равно нулю. Тангенс определён при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), котангенс — при \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); при остальных \(x\), то есть при \(x \ne \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\), имеем \(\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1\), знаменатель не равен нулю и \(y = 1\). Значит, график функции — прямая \(y = 1\), из которой выколоты точки \(\left(\frac{\pi n}{2};\ 1\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).
