Страница 169 номер 22.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля. Знаменатель \(\operatorname{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y}\) определён при \(\cos y \ne 0\) и отличен от нуля при \(\sin y \ne 0\). Поэтому уравнение \(\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} y} = 0\) равносильно системе \[\begin{cases} \operatorname{tg} x = 0, \\ \sin y \ne 0, \\ \cos y \ne 0. \end{cases}\] Условия \(\sin y \ne 0\) и \(\cos y \ne 0\) означают, что \(y \ne \pi m\) и \(y \ne \frac{\pi}{2} + \pi m\), то есть \(y \ne \frac{\pi m}{2}\), \(m \in \mathbf{Z}\). Отсюда \[\begin{cases} x = \pi n,\ n \in \mathbf{Z}, \\ y \ne \frac{\pi m}{2},\ m \in \mathbf{Z}. \end{cases}\] Искомый график — прямые \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), из которых выколоты точки с ординатами \(\frac{\pi m}{2}\), \(m \in \mathbf{Z}\).

2) Обозначим \(t = \pi(x - y)\) и решим уравнение \(\operatorname{tg} t = 1\). Тангенс возрастает на каждом из промежутков \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\), которые вместе составляют всю его область определения, поэтому на каждом таком промежутке значение \(1\) он принимает не более одного раза. Так как \(\pi\) — период тангенса, то \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1\), а число \(\frac{\pi}{4} + \pi n\) лежит в промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\). Значит, \(\operatorname{tg} t = 1\) тогда и только тогда, когда \(t = \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Тогда \[\begin{aligned} \pi(x - y) &= \frac{\pi}{4} + \pi n; \qquad | : \pi \\ x - y &= \frac{1}{4} + n; \\ y &= x - \frac{1}{4} - n. \end{aligned}\] Когда \(n\) пробегает все целые числа, число \(-n\) тоже пробегает все целые числа. Искомый график — прямые \(y = x - \frac{1}{4} + n\), \(n \in \mathbf{Z}\), параллельные прямой \(y = x\).