Страница 82 номер 125, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Наугад выбрано трёхзначное число. Какова вероятность того, что: а) все цифры в нём разные; б) в нём нет ни одной 1; в) в нём есть хотя бы одна 1; г) в нём есть ровно одна 1?
Трёхзначные числа — от 100 до 999, их \(999 - 99 = 900\). Число выбирают наугад, поэтому все 900 исходов равновозможны. Числа с нужным свойством — листья дерева выбора по разрядам: цифра сотен, затем десятков, затем единиц.
а) \(A\) = «все цифры в числе разные»: цифра сотен — 9 способов (не 0), десятков — 9 (не цифра сотен), единиц — 8 (не две уже взятые); листьев \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\).
\[P(A) = \frac{648}{900} = \frac{18}{25} = 0{,}72.\]
б) \(B\) = «в числе нет ни одной 1»: цифра сотен — 8 способов (не 0 и не 1), десятков и единиц — по 9 (не 1); \(8 \cdot 9 \cdot 9 = 648\).
\[P(B) = \frac{648}{900} = \frac{18}{25} = 0{,}72.\]
в) \(C\) = «в числе есть хотя бы одна 1» — все трёхзначные числа, кроме 648 чисел без единиц: \(900 - 648 = 252\).
\[P(C) = \frac{252}{900} = \frac{7}{25} = 0{,}28.\]
г) \(D\) = «в числе ровно одна 1»: единица в одном из трёх разрядов, две другие цифры — не единицы.
Единица в разряде сотен: цифры десятков и единиц — по 9 способов, \(9 \cdot 9 = 81\).
Единица в разряде десятков: цифра сотен — 8 способов (не 0 и не 1), цифра единиц — 9, \(8 \cdot 9 = 72\).
Единица в разряде единиц: цифра сотен — 8 способов, цифра десятков — 9, \(8 \cdot 9 = 72\).
\(81 + 72 + 72 = 225\) — чисел с одной единицей.
\[P(D) = \frac{225}{900} = \frac{1}{4} = 0{,}25.\]
Ответ: а) вероятность того, что все цифры числа разные, равна \(\frac{18}{25} = 0{,}72\); б) что в числе нет ни одной 1 — \(\frac{18}{25} = 0{,}72\); в) что есть хотя бы одна 1 — \(\frac{7}{25} = 0{,}28\); г) что есть ровно одна 1 — \(\frac{1}{4} = 0{,}25\).
Наугад выбрано трёхзначное число. Какова вероятность того, что: а) все цифры в нём разные; б) в нём нет ни одной 1; в) в нём есть хотя бы одна 1; г) в нём есть ровно одна 1?
Трёхзначные числа — от 100 до 999, их \(999 - 99 = 900\). Число выбирают наугад, поэтому все 900 исходов равновозможны.
Числа с нужным свойством будем считать по разрядам: сначала выбирается цифра сотен, затем цифра десятков, затем цифра единиц. Каждое такое число — лист дерева выбора: из корня выходит по ребру на каждую подходящую цифру сотен, из каждой вершины первого яруса — на каждую подходящую цифру десятков, из каждой вершины второго яруса — на каждую подходящую цифру единиц.
а) \(A\) = «все цифры в числе разные». Цифру сотен можно взять 9 способами (любую, кроме 0), цифру десятков — 9 способами (любую из десяти, кроме цифры сотен), цифру единиц — 8 способами (любую, кроме двух уже взятых). Листьев у дерева \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\).
\[P(A) = \frac{648}{900} = \frac{18}{25} = 0{,}72.\]
б) \(B\) = «в числе нет ни одной 1». Цифру сотен можно взять 8 способами (любую, кроме 0 и 1), цифры десятков и единиц — по 9 способов (любую, кроме 1). Таких чисел \(8 \cdot 9 \cdot 9 = 648\).
\[P(B) = \frac{648}{900} = \frac{18}{25} = 0{,}72.\]
в) \(C\) = «в числе есть хотя бы одна 1». Это все трёхзначные числа, кроме 648 чисел без единиц: \(900 - 648 = 252\).
\[P(C) = \frac{252}{900} = \frac{7}{25} = 0{,}28.\]
г) \(D\) = «в числе ровно одна 1». Единица стоит в одном из трёх разрядов, а две другие цифры — не единицы.
Единица в разряде сотен: цифры десятков и единиц — по 9 способов, чисел \(9 \cdot 9 = 81\).
Единица в разряде десятков: цифра сотен — 8 способов (не 0 и не 1), цифра единиц — 9 способов, чисел \(8 \cdot 9 = 72\).
Единица в разряде единиц: цифра сотен — 8 способов, цифра десятков — 9 способов, чисел \(8 \cdot 9 = 72\).
Всего \(81 + 72 + 72 = 225\) чисел.
\[P(D) = \frac{225}{900} = \frac{1}{4} = 0{,}25.\]
Ответ: а) вероятность того, что все цифры числа разные, равна \(\frac{18}{25} = 0{,}72\); б) что в числе нет ни одной 1 — \(\frac{18}{25} = 0{,}72\); в) что есть хотя бы одна 1 — \(\frac{7}{25} = 0{,}28\); г) что есть ровно одна 1 — \(\frac{1}{4} = 0{,}25\).
