Страница 145 номер 19.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Углом какой четверти является угол \(\alpha\), если: 1) \(\sin \alpha > 0\) и \(\cos \alpha < 0\); 2) \(\sin \alpha < 0\) и \(\operatorname{tg} \alpha > 0\); 3) \(|\sin \alpha| = \sin \alpha\) и \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 4) \(\operatorname{ctg} \alpha + |\operatorname{ctg} \alpha| = 0\) и \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\)?
1) Из условия следует, что \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\), поэтому угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей. Синус положителен в I и II четвертях, косинус отрицателен во II и III; оба условия выполняются только во II четверти.
2) \(\sin\alpha < 0\), значит, \(\sin\alpha \ne 0\);
\(\operatorname{tg}\alpha > 0\), значит, тангенс определён и \(\cos\alpha \ne 0\). Поэтому угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей. Синус отрицателен в III и IV четвертях, тангенс положителен в I и III; оба условия выполняются только в III четверти.
3) \(|\sin\alpha| = \sin\alpha\) тогда и только тогда, когда \(\sin\alpha \geqslant 0\). При \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\) угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей и \(\sin\alpha \ne 0\). Значит, \(\sin\alpha > 0\), и \(\alpha\) — угол I или II четверти.
4) \(\operatorname{ctg}\alpha + |\operatorname{ctg}\alpha| = 0\), то есть \(|\operatorname{ctg}\alpha| = -\operatorname{ctg}\alpha\), тогда и только тогда, когда \(\operatorname{ctg}\alpha \leqslant 0\). Котангенс определён, поэтому \(\alpha \ne \pi k\), а по условию \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\). Значит, \(\sin\alpha \ne 0\), \(\cos\alpha \ne 0\), угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей и \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \ne 0\). Следовательно, \(\operatorname{ctg}\alpha < 0\), и \(\alpha\) — угол II или IV четверти.
Ответ: 1) II четверти; 2) III четверти; 3) I или II четверти; 4) II или IV четверти.
Углом какой четверти является угол \(\alpha\), если: 1) \(\sin \alpha > 0\) и \(\cos \alpha < 0\); 2) \(\sin \alpha < 0\) и \(\operatorname{tg} \alpha > 0\); 3) \(|\sin \alpha| = \sin \alpha\) и \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 4) \(\operatorname{ctg} \alpha + |\operatorname{ctg} \alpha| = 0\) и \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\)?
Угол принадлежит одной из четвертей, если его синус и косинус отличны от нуля; углы вида \(\frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), у которых синус или косинус равен нулю, ни к какой четверти не относятся. Синус положителен в I и II четвертях и отрицателен в III и IV; косинус положителен в I и IV четвертях и отрицателен во II и III; тангенс и котангенс положительны в I и III четвертях и отрицательны во II и IV.
1) Из условия следует, что \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\), поэтому угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей. Синус положителен в I и II четвертях, косинус отрицателен во II и III четвертях; оба условия выполняются только во II четверти.
2) Синус отрицателен, значит, \(\sin\alpha \ne 0\); тангенс положителен, значит, он определён и \(\cos\alpha \ne 0\). Поэтому угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей. Синус отрицателен в III и IV четвертях, тангенс положителен в I и III четвертях; оба условия выполняются только в III четверти.
3) Равенство \(|\sin\alpha| = \sin\alpha\) верно тогда и только тогда, когда \(\sin\alpha \geqslant 0\). По условию \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), поэтому угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей и \(\sin\alpha \ne 0\). Значит, \(\sin\alpha > 0\), и \(\alpha\) — угол I или II четверти.
4) Равенство \(\operatorname{ctg}\alpha + |\operatorname{ctg}\alpha| = 0\) означает, что \(|\operatorname{ctg}\alpha| = -\operatorname{ctg}\alpha\), а это верно тогда и только тогда, когда \(\operatorname{ctg}\alpha \leqslant 0\). Котангенс определён, поэтому \(\alpha \ne \pi k\), а по условию \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\). Значит, \(\sin\alpha \ne 0\), \(\cos\alpha \ne 0\), угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей и \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \ne 0\). Следовательно, \(\operatorname{ctg}\alpha < 0\), и \(\alpha\) — угол II или IV четверти.
Ответ: 1) II четверти; 2) III четверти; 3) I или II четверти; 4) II или IV четверти.
