Страница 146 номер 19.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Углом какой четверти является угол \(\alpha\), если: 1) \(\cos \alpha > 0\) и \(\operatorname{tg} \alpha > 0\); 2) \(\sin \alpha < 0\) и \(\operatorname{ctg} \alpha < 0\); 3) \(|\cos \alpha| = -\cos \alpha\) и \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 4) \(|\operatorname{tg} \alpha| - \operatorname{tg} \alpha = 0\) и \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\)?
1) \(\cos\alpha > 0\), значит, \(\cos\alpha \ne 0\);
\(\operatorname{tg}\alpha > 0\), значит, \(\operatorname{tg}\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha \ne 0\). Поэтому угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей. Косинус положителен в I и IV четвертях, тангенс положителен в I и III; оба условия выполняются только в I четверти.
2) \(\sin\alpha < 0\), значит, \(\sin\alpha \ne 0\);
\(\operatorname{ctg}\alpha < 0\), значит, \(\operatorname{ctg}\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\). Поэтому угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей. Синус отрицателен в III и IV четвертях, котангенс отрицателен во II и IV; оба условия выполняются только в IV четверти.
3) \(|\cos\alpha| = -\cos\alpha\) тогда и только тогда, когда \(\cos\alpha \leqslant 0\). При \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\) угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей и \(\cos\alpha \ne 0\). Значит, \(\cos\alpha < 0\), и \(\alpha\) — угол II или III четверти.
4) \(|\operatorname{tg}\alpha| - \operatorname{tg}\alpha = 0\), то есть \(|\operatorname{tg}\alpha| = \operatorname{tg}\alpha\), тогда и только тогда, когда \(\operatorname{tg}\alpha \geqslant 0\). Тангенс определён, поэтому \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), а по условию \(\alpha \ne \pi k\). Значит, \(\cos\alpha \ne 0\), \(\sin\alpha \ne 0\), угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей и \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \ne 0\). Следовательно, \(\operatorname{tg}\alpha > 0\), и \(\alpha\) — угол I или III четверти.
Ответ: 1) I четверти; 2) IV четверти; 3) II или III четверти; 4) I или III четверти.
Углом какой четверти является угол \(\alpha\), если: 1) \(\cos \alpha > 0\) и \(\operatorname{tg} \alpha > 0\); 2) \(\sin \alpha < 0\) и \(\operatorname{ctg} \alpha < 0\); 3) \(|\cos \alpha| = -\cos \alpha\) и \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 4) \(|\operatorname{tg} \alpha| - \operatorname{tg} \alpha = 0\) и \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\)?
Угол принадлежит одной из четвертей, если его синус и косинус отличны от нуля; углы вида \(\frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), у которых синус или косинус равен нулю, ни к какой четверти не относятся. Синус положителен в I и II четвертях и отрицателен в III и IV; косинус положителен в I и IV четвертях и отрицателен во II и III; тангенс и котангенс положительны в I и III четвертях и отрицательны во II и IV.
1) Косинус положителен, значит, \(\cos\alpha \ne 0\); тангенс положителен, значит, \(\operatorname{tg}\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha \ne 0\). Поэтому угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей. Косинус положителен в I и IV четвертях, тангенс положителен в I и III четвертях; оба условия выполняются только в I четверти.
2) Синус отрицателен, значит, \(\sin\alpha \ne 0\); котангенс отрицателен, значит, \(\operatorname{ctg}\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\). Поэтому угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей. Синус отрицателен в III и IV четвертях, котангенс отрицателен во II и IV четвертях; оба условия выполняются только в IV четверти.
3) Равенство \(|\cos\alpha| = -\cos\alpha\) верно тогда и только тогда, когда \(\cos\alpha \leqslant 0\). По условию \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), поэтому угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей и \(\cos\alpha \ne 0\). Значит, \(\cos\alpha < 0\), и \(\alpha\) — угол II или III четверти.
4) Равенство \(|\operatorname{tg}\alpha| - \operatorname{tg}\alpha = 0\) означает, что \(|\operatorname{tg}\alpha| = \operatorname{tg}\alpha\), а это верно тогда и только тогда, когда \(\operatorname{tg}\alpha \geqslant 0\). Тангенс определён, поэтому \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), а по условию \(\alpha \ne \pi k\). Значит, \(\cos\alpha \ne 0\), \(\sin\alpha \ne 0\), угол \(\alpha\) принадлежит одной из четвертей и \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \ne 0\). Следовательно, \(\operatorname{tg}\alpha > 0\), и \(\alpha\) — угол I или III четверти.
Ответ: 1) I четверти; 2) IV четверти; 3) II или III четверти; 4) I или III четверти.
