Вопросы после параграфа §20 на странице 152, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Функцию \(f\) называют периодической, если существует такое число \(T \ne 0\), что для любого \(x\) из области определения функции \(f\) выполняются равенства \[f(x - T) = f(x) = f(x + T).\] Из определения следует, что если \(x_0 \in D(f)\), то \((x_0 - T) \in D(f)\) и \((x_0 + T) \in D(f)\).

Например, функции \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) периодические: для любого \(x\) выполняются равенства \(\sin(x - 2\pi) = \sin x = \sin(x + 2\pi)\) и \(\cos(x - 2\pi) = \cos x = \cos(x + 2\pi)\). Периодическими являются также функции \(y = \operatorname{tg} x\), \(y = \operatorname{ctg} x\) и функция дробная часть числа \(y = \{x\}\).

Ответ: функцию \(f\) называют периодической, если существует такое число \(T \ne 0\), что для любого \(x\) из её области определения выполняются равенства \(f(x - T) = f(x) = f(x + T)\).

Периодом функции \(f\) называют число \(T \ne 0\), для которого при любом \(x\) из области определения функции \(f\) выполняются равенства \(f(x - T) = f(x) = f(x + T)\).

Если \(T\) — период функции \(f\), то \(-T\) — тоже её период; периодом является и любое число вида \(nT\), где \(n \in \mathbf{Z}\), \(n \ne 0\). Поэтому у каждой периодической функции бесконечно много периодов. Например, периодами функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) являются все числа вида \(2\pi n\), функций \(y = \operatorname{tg} x\) и \(y = \operatorname{ctg} x\) — все числа вида \(\pi n\), функции \(y = \{x\}\) — все целые числа \(n\) (везде \(n \in \mathbf{Z}\), \(n \ne 0\)).

Ответ: периодом функции \(f\) называют такое число \(T \ne 0\), что для любого \(x\) из области определения функции \(f\) выполняются равенства \(f(x - T) = f(x) = f(x + T)\).

Если среди всех периодов функции \(f\) существует наименьший положительный период, то его называют главным периодом функции \(f\). Например, главный период функции \(y = \{x\}\) — число \(1\), функции \(y = \sin x\) — число \(2\pi\).

Главный период есть не у каждой периодической функции. Так, у постоянной функции \(y = c\) периодом является любое число, отличное от нуля, а у функции Дирихле \(y = \mathcal{D}(x)\) — любое рациональное число, отличное от нуля; наименьшего положительного периода у этих функций нет.

Если главный период \(T\) функции существует, то любой её период имеет вид \(nT\), где \(n \in \mathbf{Z}\), \(n \ne 0\).

Ответ: главным периодом функции называют наименьший положительный период этой функции, если среди её периодов такой существует.

Главным периодом функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) является число \(2\pi\), а функций \(y = \operatorname{tg} x\) и \(y = \operatorname{ctg} x\) — число \(\pi\).

Например, для синуса: число \(2\pi\) — период, и меньшего положительного периода нет. Действительно, если \(T\) — период функции \(y = \sin x\), то при \(x = \frac{\pi}{2}\) получаем \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + T\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1\). Значение \(1\) синус принимает только при значениях аргумента вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), поэтому \(T = 2\pi n\), а наименьшее положительное число такого вида — \(2\pi\).

Для функций с аргументом \(kx + b\), где \(k \ne 0\), главный период функций \(y = \sin(kx + b)\) и \(y = \cos(kx + b)\) равен \(\frac{2\pi}{|k|}\), а функций \(y = \operatorname{tg}(kx + b)\) и \(y = \operatorname{ctg}(kx + b)\) — \(\frac{\pi}{|k|}\). Например, главный период функции \(y = \cos 4x\) равен \(\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\).

Ответ: главный период функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) — число \(2\pi\); функций \(y = \operatorname{tg} x\) и \(y = \operatorname{ctg} x\) — число \(\pi\).