Страница 289 номер 977, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Найти наибольший из объёмов всех пирамид, у каждой из которых высота равна 12, а основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой 4.
Формула объёма пирамиды: \(V = \frac{1}{3}h \cdot S\). Обозначим один катет \(x\), тогда другой – \(\sqrt{16 - x^{2}}\), а площадь \(S = \frac{1}{2}x\sqrt{16 - x^{2}}\).
\(S'(x) = \dfrac{\sqrt{16 - x^{2}}}{2} - \dfrac{2x^{2}}{4\sqrt{16 - x^{2}}} = \dfrac{32 - 2x^{2} - 2x^{2}}{4\sqrt{16 - x^{2}}} = \dfrac{8 - x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}\)
\(8 - x^{2} = 0\), \(x = \sqrt{8}\).
Соответственно \(S = \frac{\sqrt{8}}{2}\sqrt{16 - 8} = 4\), \(V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 4 = 16\).
\(0 < x < 4\), \(x = \sqrt{8}\) – единственная стационарная точка на этом интервале;
\(S'(x) > 0\) при \(0 < x < \sqrt{8}\), \(S'(x) < 0\) при \(\sqrt{8} < x < 4\), значит, \(x = \sqrt{8}\) – точка максимума и площадь основания в ней наибольшая, а с ней и объём, т.к. высота постоянна.
