Страница 288 Проверь себя, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции \(y = 6x - 2x^{3}\).

\(y'(x) = 6 - 6x^{2}, 6(1 - x^{2}) > 0, -1 < x < 1\) функция возрастает;

функция убывает при \(x < -1\) и \(x > 1\).

2. Найти точки экстремума функции \(y = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}\).

\(y'(x) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{x^{2}}, \dfrac{x^{2} - 9}{3x^{2}} = 0, x_{1{,}2} = \pm 3.\)
\(y'(x) > 0\) при \(x < -3\) и \(x > 3\), \(y'(x) < 0\) при \(-3 < x < 0\) и \(0 < x < 3\);
\(x = 3\) – точка минимума; \(x = -3\) – точка максимума.

3. Построить график функции:

1) \(y = 2x^{4} - x^{2} + 1\)

1. Область определения – множество \(R\);

2. \(y'(x) = 8x^{3} - 2x\);

3. \(2x(4x^{2} - 1) = 0, x_{1} = 0, x_{2{,}3} = \pm\frac{1}{2}\);

4. Возрастает при \(-\frac{1}{2} < x < 0\) и \(x > \frac{1}{2}\),

убывает – \(x < -\frac{1}{2}\) и \(0 < x < \frac{1}{2}\);

5. \(x = 0\) – точка максимума; \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = -\frac{1}{2}\) – точки минимума;

6. \(y(0) = 1, y\left(\frac{1}{2}\right) = y\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{7}{8}\);

2) \(y = x^{3} - 3x\)

1. Область определения – множество \(R\);

2. \(y'(x) = 3x^{2} - 3\);

3. \(3(x^{2} - 1) = 0, x_{1} = 1, x_{2} = -1\);

4. Возрастает при \(x < -1\) и \(x > 1\),

убывает – \(-1 < x < 1\);

5. \(x = -1\) – точка максимума; \(x = 1\) – точка минимума;

6. \(y(0) = 0, y(-1) = -1 + 3 = 2, y(1) = 1 - 3 = -2\).

4. Функция \(y = x + \frac{4}{x}\) непрерывна на отрезке \([1;\ 5]\). Найти её наибольшее и наименьшее значения.

\(y(1) = 1 + 4 = 5\)
\(y(5) = 5 + \dfrac{4}{5} = 5{,}8.\)
\(y'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^{2}}\)
\(\dfrac{x^{2} - 4}{x^{2}} = 0\)
\(x^{2} = 4, x = \pm 2, x = -2\) – не принадлежит отрезку.
\(y(2) = 2 + 2 = 4.\)

Наибольшее значение: \(y(5) = 5{,}8\)

Наименьшее: \(y(2) = 4\).

5. Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объём параллелепипеда был наибольшим?

Обозначим одну сторону \(x\).

Тогда другая будет – \(\left(\frac{8}{2} - x\right) = 4 - x\), \(0 < x < 4\).

Тогда объём параллелепипеда \(V = x(4 - x)3\). Найдём максимальный объём: \(V'(x) = (12x - 3x^{2})' = 12 - 6x, 12 - 6x = 0, x = 2\) – единственная стационарная точка на этом интервале; \(V'(x) > 0\) при \(0 < x < 2\), \(V'(x) < 0\) при \(2 < x < 4\), значит, \(x = 2\) – точка максимума. \(V(2) = 2(4 - 2)3 = 12\) м³ – наибольший объём при сторонах основания – 2 метра и 2 метра.