Страница 287 номер 955, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Найти точки перегиба функции \(f(x)\), если: 1) \(f(x) = \cos x\), \(-\pi < x < \pi\); 2) \(f(x) = x^5 - 80x^2\); 3) \(f(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12x\); 4) \(f(x) = \sin x - \frac{1}{2} \sin 2x\), \(-\pi < x < \pi\).
1) \(f(x) = \cos x, -\pi < x < \pi\)
\(f''(x) = -\cos x, -\cos x = 0, x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z.\)
Точки перегиба – \(x = -\frac{\pi}{2}\) (\(n = -1\)) и \(x = \frac{\pi}{2}\) (\(n = 0\)), т.к. при переходе через них \(f''(x)\) меняет знак;
2) \(f(x) = x^{5} - 80x^{2}\)
\(f''(x) = 20x^{3} - 160\)
\(20(x^{3} - 8) = 0\), \(x = 2\) – при переходе \(f''(x)\) меняет знак с «–» на «+», значит является точкой перегиба;
3) \(f(x) = 12x^{3} - 24x^{2} + 12x\)
\(f''(x) = 72x - 48\)
\(x = \frac{2}{3}\) – при переходе \(f''(x)\) меняет знак с «–» на «+», значит является точкой перегиба;
4) \(f(x) = \sin x - \frac{1}{2} \sin 2x, -\pi < x < \pi\)
\(f''(x) = -\sin x + 2 \sin 2x\)
\(2 \cdot 2 \sin x \cos x - \sin x = 0,\)
\(\sin x (4 \cos x - 1) = 0\), \(x_{1} = \pi n\), \(n \in Z\) – в промежуток входит только \(x = 0\) (\(n = 0\)).
\(4 \cos x - 1 = 0\)
\(\cos x = \dfrac{1}{4}\)
\(x = \pm \arccos \dfrac{1}{4}.\)
Точки перегиба – \(x = 0\) и \(x = \pm \arccos \frac{1}{4}\), т.к. при переходе через них \(f''(x)\) меняет знак.
