Страница 290 номер 979, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности \(2S\). Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объём был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось \(\frac{5}{2}\)?
Отношение длины к ширине – \(\frac{5}{2}\). Площадь поверхности \(2S\). Т.е. длина \(5x\), а ширина – \(2x\). Высота – \(h\). Откуда \(2S = 10x^{2} + 2h(5x + 2x)\).
\(h = \dfrac{2S - 10x^{2}}{14x}, V = 10x^{2}\dfrac{2S - 10x^{2}}{14x} = \dfrac{5}{7}(2Sx - 10x^{3}).\)
\(V'(x) = \dfrac{5}{7}(2S - 30x^{2})\)
\(2S = 30x^{2}\)
\(x = \sqrt{\frac{S}{15}}\). Длина: \(\sqrt{\frac{5}{3}S}\), ширина: \(\sqrt{\frac{4}{15}S}\).
\(0 < x < \sqrt{\frac{S}{5}}\) (высота \(h > 0\)), \(x = \sqrt{\frac{S}{15}}\) – единственная стационарная точка на этом интервале;
\(V'(x) > 0\) при \(0 < x < \sqrt{\frac{S}{15}}\), \(V'(x) < 0\) при \(\sqrt{\frac{S}{15}} < x < \sqrt{\frac{S}{5}}\), значит, \(x = \sqrt{\frac{S}{15}}\) – точка максимума и объём в ней наибольший.
