Страница 289 номер 976, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса \(R\) так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь. Найти эту площадь.
Пусть высота \(x\), тогда основание – \(2\sqrt{R^{2} - x^{2}}\). А его площадь
\(S = 2x\sqrt{R^{2} - x^{2}}\)
\(S'(x) = 2\sqrt{R^{2} - x^{2}} - \dfrac{4x^{2}}{2\sqrt{R^{2} - x^{2}}} = \dfrac{2R^{2} - 4x^{2}}{\sqrt{R^{2} - x^{2}}},\)
\(2(R^{2} - 2x^{2}) = 0\)
\(x = \frac{R}{\sqrt{2}}\), т.к. \(x > 0\).
\(0 < x < R\), \(x = \frac{R}{\sqrt{2}}\) – единственная стационарная точка на этом интервале;
\(S'(x) > 0\) при \(0 < x < \frac{R}{\sqrt{2}}\), \(S'(x) < 0\) при \(\frac{R}{\sqrt{2}} < x < R\), значит, \(x = \frac{R}{\sqrt{2}}\) – точка максимума и площадь в ней наибольшая.
Тогда площадь \(S = \frac{2R}{\sqrt{2}}\sqrt{R^{2} - \frac{R^{2}}{2}} = \frac{2R}{\sqrt{2}}\frac{R}{\sqrt{2}} = R^{2}\).
