10класс
Страница 265 номер 909, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Глава 9. Применение производной к исследованию функций. §49. Возрастание и убывание функции. Страница 265. Номер 909
Задание / условие:
При каких значениях \(a\) функция \(y = ax^3 + 3x^2 - 2x + 5\) убывает на всей числовой прямой?
Решение:
\(y'(x) = 3ax^{2} + 6x - 2\)
При \(a = 0\): \(y'(x) = 6x - 2 > 0\) при \(x > \frac{1}{3}\) — не подходит; при \(a > 0\) ветви параболы \(y = 3ax^{2} + 6x - 2\) направлены вверх — не подходит; при \(a < 0\):
\(y'(x) < 0, D < 0, 36 + 24a < 0, a < -\dfrac{3}{2}.\)
\(a = -\frac{3}{2}\): \(y'(x) = -\frac{9}{2}x^{2} + 6x - 2 = -\frac{9}{2}\left(x - \frac{2}{3}\right)^{2}\),
\(y'(x) = 0\) лишь при \(x = \frac{2}{3}\) — функция убывает; \(a \leqslant -\frac{3}{2}\).
Решение подготовила Ольга Васильева, учитель математики первой категории
