Страница 260 номер 892, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Прямая касается гиперболы \(y = \frac{k}{x}\), где \(k > 0\), в точке с абсциссой \(x_0\). 1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь. 2) Доказать, что эта касательная проходит через точки \(\left(x_0;\ \frac{2k}{x_0}\right)\) и \((2x_0;\ 0)\).
\(y'(x) = -\dfrac{k}{x^{2}}, y(x_{0}) = \dfrac{k}{x_{0}}, y'(x_{0}) = -\dfrac{k}{x_{0}^{2}},\)
\(y = \dfrac{k}{x_{0}} - \dfrac{k}{x_{0}^{2}}(x - x_{0}) = \dfrac{2k}{x_{0}} - \dfrac{kx}{x_{0}^{2}};\)
1) Точки пересечения с осями: \(y(0) = \frac{2k}{x_{0}}\) – \(A\left(0;\ \frac{2k}{x_{0}}\right)\);
\(\dfrac{2k}{x_{0}} - \dfrac{kx}{x_{0}^{2}} = 0, \dfrac{2k}{x_{0}} = \dfrac{kx}{x_{0}^{2}}\)
\(2 = \frac{x}{x_{0}}, x = 2x_{0}\) – \(B(2x_{0};\ 0)\);
\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2k}{x_{0}} \cdot 2x_{0} = 2k\) – что и требовалось доказать;
2) Проверим точки: \(y = \frac{2k}{x_{0}} - \frac{kx}{x_{0}^{2}}, \frac{2k}{x_{0}} = \frac{2k}{x_{0}} - \frac{kx_{0}}{x_{0}^{2}} = \frac{k}{x_{0}}\) – неверно. Точка не принадлежит касательной.
В условии опечатка: касательная проходит через точку \(\left(0;\ \frac{2k}{x_{0}}\right)\) – это точка \(A\) из п. 1.
\(0 = \frac{2k}{x_{0}} - \frac{k \cdot 2x_{0}}{x_{0}^{2}} = 0\) – верно, значит точка принадлежит касательной.
