Страница 270 номер 915, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(y = x^{3} - 3x^{2}\)
\(y'(x) = 3x^{2} - 6x\)
\(3x(x - 2) = 0, x_{1} = 0, x_{2} = 2\)
\(y'(x) > 0\) при \(x < 0\) и при \(x > 2\), \(y'(x) < 0\) при \(0 < x < 2\);
\(x = 0\) – точка максимума; \(x = 2\) – точка минимума;
\(y(0) = 0, y(2) = 8 - 12 = -4;\)

2) \(y = x^{4} - 8x^{2} + 3\)
\(y'(x) = 4x^{3} - 16x\)
\(4x(x^{2} - 4) = 0, x_{1} = 0, x_{2{,}3} = \pm 2\)
\(y'(x) < 0\) при \(x < -2\) и при \(0 < x < 2\), \(y'(x) > 0\) при \(-2 < x < 0\) и при \(x > 2\);
\(x = -2\) – точка минимума; \(x = 0\) – точка максимума; \(x = 2\) – точка минимума;
\(y(-2) = -13, y(0) = 3, y(2) = -13;\)

3) \(y = x + \sin x\)
\(y'(x) = 1 + \cos x\)
\(\cos x = -1, x = \pi + 2\pi n, n \in Z;\)

Точки \(x = \pi + 2\pi n, n \in Z\), не являются точками экстремума, т.к. \(y'(x) > 0\) при \(x \neq \pi + 2\pi n\) — производная в этих точках знак не меняет;

4) \(y = 2\cos x + x\)
\(y'(x) = -2\sin x + 1\)
\(y'(x) > 0\) при \(\sin x < \frac{1}{2}\): \(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z\);
\(y'(x) < 0\) при \(\sin x > \frac{1}{2}\): \(\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z\);
\(\sin x = \frac{1}{2}, x_{1} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z\) – точка максимума;
\(x_{2} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z\) – точка минимума;
\(y\left(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\right) = 2\cos \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n = \sqrt{3} + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z\)
\(y\left(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n\right) = 2\cos \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\sqrt{3} + \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z\)