Вопросы после параграфа §20 на страницах 188-189, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Сколько учебников нужно напечатать к новому учебному году? Какой размер обуви покупают чаще всего? Сколько килограммов рыбы съедает в среднем за год один житель страны? Чтобы ответить на такие вопросы, собирают сведения о большом количестве людей или предметов, обрабатывают эти сведения и делают выводы. Этим занимается наука статистика; её название происходит от латинского слова status — «состояние».

Ответ: статистикой называют науку о сборе, обработке и анализе количественных данных, которые характеризуют массовые явления.

Статистическое исследование состоит из четырёх этапов, которые идут один за другим.

1. Сбор данных.
2. Обработка данных и их представление в удобной форме.
3. Анализ данных.
4. Выводы и рекомендации.

Пример: фирма, которая собирается поставлять джинсы, опросила 500 человек о том, какой размер они носят (сбор данных); составила таблицу, в которой указано, сколько человек назвали каждый размер (обработка данных и их представление); выяснила, какой размер называли чаще всего (анализ данных); решила, что джинсов этого размера нужно поставлять больше всего (выводы и рекомендации).

Ответ: статистическое исследование состоит из четырёх этапов: сбор данных; обработка данных и их представление в удобной форме; анализ данных; выводы и рекомендации.

Изучить все интересующие объекты удаётся редко. Обычно исследуют только часть из них, а выводы распространяют на все объекты. Объекты, отобранные для исследования, образуют выборку.

Пример: чтобы узнать, сколько времени девятиклассники города тратят на домашние задания, опросили 400 учеников из разных школ. Эти 400 учеников составляют выборку.

Ответ: выборкой называют совокупность объектов, на основании которых проводят исследование.

Чтобы выводам исследования можно было доверять, выборка должна быть массовой и репрезентативной.

Массовость означает, что выборка состоит из большого количества объектов. Репрезентативность (от французского слова représentatif — «показательный») означает, что выборка правильно отражает всё множество исследуемых объектов. Для этого элементы выборки отбирают случайным образом — так, чтобы любой объект из множества исследуемых мог попасть в выборку с одинаковой вероятностью.

Пример: если, исследуя популярность артиста, опросить только зрителей его концерта, то выводы не будут объективными, какой бы большой ни была выборка: эти люди пришли на концерт именно потому, что артист им нравится. Опрашивать нужно случайно выбранных людей разного возраста и разных профессий.

Ответ: сбор данных должен основываться на массовости и репрезентативности выборки.

Собранные данные удобно представлять в виде таблиц, графиков и диаграмм.

В таблице данные записаны по строкам и столбцам. На столбчатой диаграмме (её ещё называют гистограммой) каждому значению соответствует столбец, высота которого показывает это значение. На графике значениям соответствуют точки, соединённые отрезками. Столбчатые диаграммы и графики обычно используют, чтобы показать, как величина изменяется с течением времени. На круговой диаграмме круг изображает все данные вместе, а секторы — их части.

Пример: количество книг, которые ученик прочитал за каждый месяц лета, записано в таблице.

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Июнь} & \text{Июль} & \text{Август} \\ \hline \text{Количество книг} & 4 & 6 & 2 \\ \hline \end{array}\]

Эти же данные можно показать тремя столбцами высотой 4, 6 и 2 единицы (столбчатая диаграмма), тремя точками, соединёнными отрезками (график), или кругом, разделённым на три сектора (круговая диаграмма). Всего прочитано \(4 + 6 + 2 = 12\) книг, поэтому июню соответствует \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) круга, июлю — \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\) круга, августу — \(\frac{2}{12} = \frac{1}{6}\) круга.

Ответ: данные представляют в виде таблиц, графиков и диаграмм — столбчатых (гистограмм) и круговых.

Среднее значение совокупности числовых данных находят так: сумму всех данных делят на их количество. Средним значением пользуются, когда много данных нужно охарактеризовать одним числом.

Пример 1. За пять дней магазин продал 38, 42, 35, 47 и 43 пары обуви. Среднее количество пар, проданных за день:

\(\dfrac{38 + 42 + 35 + 47 + 43}{5} = \dfrac{205}{5} = 41.\)

По этому числу владелец магазина планирует закупки.

Пример 2. Среднее потребление мяса, рыбы, молока в килограммах на одного человека в год используют экономисты и диетологи в своих выводах и рекомендациях, а производители и поставщики продуктов — при планировании своей работы.

Пример 3. По среднему количеству медалей, которые команда страны завоёвывает за год на международных олимпиадах, судят о том, насколько успешно она выступает.

Пример 4. По средней оценке ученика выставляют оценку за четверть, а по средней температуре месяца судят о климате местности.

Ответ: средние значения применяют, например, так: по среднему количеству товара, проданного за день, планируют закупки; по среднему потреблению продуктов на одного человека в год экономисты и производители планируют выпуск и поставки; по среднему количеству медалей за год судят об успехах команды; по средней оценке ученика выставляют оценку за четверть.

Среднее значение плохо описывает совокупность данных, в которой немногие значения сильно отличаются от остальных.

Пример 1. В фирме работают 10 человек: девять сотрудников получают по \(30\,000\) р. в месяц, а директор — \(330\,000\) р. Средняя зарплата в фирме (в рублях):

\(\dfrac{9 \cdot 30\,000 + 330\,000}{10} = \dfrac{600\,000}{10} = 60\,000.\)

Получилось число, вдвое большее зарплаты девяти сотрудников из десяти: по средней зарплате нельзя судить о том, сколько зарабатывает большинство.

Пример 2. Если в стране небольшая группа жителей очень богата, а остальные бедны, то средний доход на одного человека может оказаться довольно высоким. Такое среднее значение не показывает, что большинство жителей живёт бедно.

Ответ: среднее значение неточно отображает ситуацию, когда немногие данные сильно отличаются от остальных. Например, средняя зарплата в фирме, где директор получает во много раз больше остальных сотрудников, намного выше зарплаты большинства; средний доход на одного жителя страны, в которой немногие очень богаты, а остальные бедны, не показывает бедности большинства.

Частотная таблица показывает, сколько раз в совокупности данных встречается каждое значение. В первой строке таблицы записывают все различные значения, а во второй строке под каждым значением — число, показывающее, сколько раз оно встретилось. Числа второй строки называют частотами. Значения не обязательно являются числами: это могут быть размеры одежды или виды медалей.

Пример: 20 учеников написали контрольную работу, и их оценки записали в частотную таблицу.

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Оценка} & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Частота} & 1 & 6 & 8 & 5 \\ \hline \end{array}\]

Оценку 4 получили 8 учеников, поэтому частота этой оценки равна 8. Сумма всех частот равна количеству данных: \(1 + 6 + 8 + 5 = 20\).

Частотную таблицу часто дополняют третьей строкой, в которой записывают относительные частоты в процентах.

Ответ: частотная таблица — это таблица, в первой строке которой записаны значения, встречающиеся в совокупности данных, а во второй — их частоты, то есть числа, которые показывают, сколько раз встречается каждое значение.

В совокупности данных одни значения встречаются чаще, другие реже. Значение, которое встречается чаще остальных, то есть имеет наибольшую частоту, называют модой. Мода — это само значение, а не его частота.

Пример: за день магазин продал 8 пар обуви размеров \(37,\ 38,\ 38,\ 39,\ 38,\ 40,\ 37,\ 38\). Размер 38 встречается 4 раза, размер 37 — 2 раза, размеры 39 и 40 — по одному разу. Наибольшая частота у размера 38, значит, мода этой выборки — размер 38.

Если наибольшую частоту имеют сразу два значения, то модой являются оба. Мода особенно важна, когда данные не являются числами: если покупателей спрашивают о любимом цвете, среднее значение найти нельзя, а моду — цвет, который называли чаще всего, — можно.

Ответ: мода — это значение, которое встречается в совокупности данных чаще остальных, то есть имеет наибольшую частоту.

Относительная частота значения показывает, сколько процентов всей выборки приходится на это значение. Чтобы её найти, частоту значения делят на величину выборки, то есть на количество всех данных, и полученное отношение записывают в процентах — умножают на 100.

Пример: контрольную работу писали 20 учеников, оценку 4 получили 8 из них. Частота оценки 4 равна 8, величина выборки равна 20. Относительная частота оценки 4:

\(\dfrac{8}{20} \cdot 100 = 40\ (\%).\)

Ответ: чтобы найти относительную частоту, нужно частоту разделить на величину выборки (количество всех данных) и записать полученное отношение в процентах.

Упорядоченная выборка — это числовые данные, записанные в порядке возрастания. Медиана показывает середину такого ряда: она делит его на две части, в которых поровну чисел.

Если количество чисел нечётное, то медиана — это число, которое стоит посередине. Например, в ряду \(2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9\) пять чисел, посередине стоит третье число, поэтому медиана равна 5.

Если количество чисел чётное, то посередине стоят два числа, и медианой считают их среднее арифметическое. Например, в ряду \(2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9,\ 12\) шесть чисел, посередине стоят третье и четвёртое числа — 5 и 7. Медиана этого ряда:

\(\dfrac{5 + 7}{2} = 6.\)

Если данные записаны не по порядку, их сначала упорядочивают: выборку \(7,\ 2,\ 9,\ 4,\ 5\) записывают в виде \(2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9\) и только после этого находят медиану.

Ответ: медианой упорядоченной выборки называют число, которое стоит посередине этой выборки, если количество чисел нечётное, и среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине, если количество чисел чётное.

Совокупность данных часто нужно охарактеризовать одним значением — показать, вокруг чего сосредоточены данные. Для этого служат три характеристики: среднее значение, мода и медиана. Их называют мерами центральной тенденции.

Пример: дана выборка \(2,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8\). Среднее значение этой выборки:

\(\dfrac{2 + 2 + 3 + 5 + 8}{5} = \dfrac{20}{5} = 4.\)

Мода равна 2: это число встречается дважды, а остальные числа — по одному разу. Медиана равна 3: это число стоит посередине упорядоченного ряда.

Какая из трёх характеристик точнее отражает ситуацию, зависит от самих данных, поэтому они дополняют друг друга.

Ответ: мерами центральной тенденции совокупности данных называют среднее значение, моду и медиану.