Страница 201 номер 27.27, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите сумму: 1) \(S = \sin 2\alpha + \sin 4\alpha + \ldots + \sin 2n\alpha\); 2) \(S = \cos^2 \alpha + \cos^2 3\alpha + \ldots + \cos^2(2n - 1)\alpha\).
1) Если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(2\alpha\), \(4\alpha\), …, \(2n\alpha\) кратен \(\pi\), синус каждого из них равен \(0\), и \(S = 0\).
Если \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(\sin\alpha \ne 0\); умножим и разделим сумму на \(2\sin\alpha\). \[\begin{aligned} 2\sin\alpha\sin 2\alpha &= \cos\alpha - \cos 3\alpha; \\ 2\sin\alpha\sin 4\alpha &= \cos 3\alpha - \cos 5\alpha; \\ &\ldots \\ 2\sin\alpha\sin 2n\alpha &= \cos(2n - 1)\alpha - \cos(2n + 1)\alpha. \end{aligned}\] Сумма этих произведений равна \(\cos\alpha - \cos(2n + 1)\alpha = -2\sin(n + 1)\alpha\sin(-n\alpha) = 2\sin n\alpha\sin(n + 1)\alpha\), поэтому \[S = \frac{2\sin n\alpha\sin(n + 1)\alpha}{2\sin\alpha} = \frac{\sin n\alpha\sin(n + 1)\alpha}{\sin\alpha}.\]
2) Если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(\alpha\), \(3\alpha\), …, \((2n - 1)\alpha\) кратен \(\pi\), косинус каждого из них равен \(1\) или \(-1\), квадрат косинуса равен \(1\), и \(S = n\).
Если \(\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi}{2}(2k + 1)\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(\alpha\), \(3\alpha\), …, \((2n - 1)\alpha\) равен \(\frac{\pi}{2}\), умноженному на произведение двух нечётных чисел, то есть на нечётное число \(2m + 1\), \(m \in \mathbf{Z}\). Значит, каждый из этих углов имеет вид \(\frac{\pi}{2} + \pi m\), косинус каждого из них равен \(0\), и \(S = 0\).
Пусть \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); тогда \(2\alpha \ne \pi k\) и \(\sin 2\alpha \ne 0\). \[\begin{aligned} &S = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos 6\alpha}{2} + \ldots + \frac{1 + \cos(4n - 2)\alpha}{2} = {} \\ &= \frac{n}{2} + \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha + \ldots + \cos(4n - 2)\alpha). \end{aligned}\] Умножим и разделим сумму в скобках на \(2\sin 2\alpha\). \[\begin{aligned} 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha &= \sin 0 + \sin 4\alpha = \sin 4\alpha; \\ 2\sin 2\alpha\cos 6\alpha &= -\sin 4\alpha + \sin 8\alpha; \\ &\ldots \\ 2\sin 2\alpha\cos(4n - 2)\alpha &= -\sin(4n - 4)\alpha + \sin 4n\alpha. \end{aligned}\] Сумма этих произведений равна \(\sin 4n\alpha\), поэтому сумма в скобках равна \(\frac{\sin 4n\alpha}{2\sin 2\alpha}\) и \[S = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 4n\alpha}{2\sin 2\alpha} = \frac{n}{2} + \frac{\sin 4n\alpha}{4\sin 2\alpha}.\]
Ответ: 1) если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = 0\); если \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = \frac{\sin n\alpha\sin(n + 1)\alpha}{\sin\alpha}\); 2) если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = n\); если \(\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = 0\); если \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = \frac{n}{2} + \frac{\sin 4n\alpha}{4\sin 2\alpha}\).
Вычислите сумму: 1) \(S = \sin 2\alpha + \sin 4\alpha + \ldots + \sin 2n\alpha\); 2) \(S = \cos^2 \alpha + \cos^2 3\alpha + \ldots + \cos^2(2n - 1)\alpha\).
1) Если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(2\alpha\), \(4\alpha\), …, \(2n\alpha\) кратен \(\pi\), синус каждого из них равен \(0\), и \(S = 0\).
Если \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(\sin\alpha \ne 0\); умножим и разделим сумму на \(2\sin\alpha\). Произведения, которые получатся в числителе, преобразуем по формуле \(\sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))\) с учётом чётности косинуса: \[\begin{aligned} 2\sin\alpha\sin 2\alpha &= \cos\alpha - \cos 3\alpha; \\ 2\sin\alpha\sin 4\alpha &= \cos 3\alpha - \cos 5\alpha; \\ &\ldots \\ 2\sin\alpha\sin 2n\alpha &= \cos(2n - 1)\alpha - \cos(2n + 1)\alpha. \end{aligned}\] По формуле разности косинусов и нечётности синуса сумма этих произведений равна \(\cos\alpha - \cos(2n + 1)\alpha = -2\sin(n + 1)\alpha\sin(-n\alpha) = 2\sin n\alpha\sin(n + 1)\alpha\), поэтому \[S = \frac{2\sin n\alpha\sin(n + 1)\alpha}{2\sin\alpha} = \frac{\sin n\alpha\sin(n + 1)\alpha}{\sin\alpha}.\]
2) Если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(\alpha\), \(3\alpha\), …, \((2n - 1)\alpha\) кратен \(\pi\), косинус каждого из них равен \(1\) или \(-1\), квадрат косинуса равен \(1\), и \(S = n\).
Если \(\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi}{2}(2k + 1)\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(\alpha\), \(3\alpha\), …, \((2n - 1)\alpha\) равен \(\frac{\pi}{2}\), умноженному на произведение двух нечётных чисел, то есть на нечётное число \(2m + 1\), \(m \in \mathbf{Z}\). Значит, каждый из этих углов имеет вид \(\frac{\pi}{2} + \pi m\), косинус каждого из них равен \(0\), и \(S = 0\).
Пусть \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); тогда \(2\alpha \ne \pi k\) и \(\sin 2\alpha \ne 0\). По формуле понижения степени \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\): \[\begin{aligned} &S = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos 6\alpha}{2} + \ldots + \frac{1 + \cos(4n - 2)\alpha}{2} = {} \\ &= \frac{n}{2} + \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha + \ldots + \cos(4n - 2)\alpha). \end{aligned}\] Умножим и разделим сумму в скобках на \(2\sin 2\alpha\). Произведения, которые получатся в числителе, преобразуем в суммы по формуле \(\sin x\cos y = \frac{1}{2}(\sin(x - y) + \sin(x + y))\) с учётом нечётности синуса: \[\begin{aligned} 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha &= \sin 0 + \sin 4\alpha = \sin 4\alpha; \\ 2\sin 2\alpha\cos 6\alpha &= -\sin 4\alpha + \sin 8\alpha; \\ &\ldots \\ 2\sin 2\alpha\cos(4n - 2)\alpha &= -\sin(4n - 4)\alpha + \sin 4n\alpha. \end{aligned}\] Сумма этих произведений равна \(\sin 4n\alpha\), поэтому сумма в скобках равна \(\frac{\sin 4n\alpha}{2\sin 2\alpha}\) и \[S = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 4n\alpha}{2\sin 2\alpha} = \frac{n}{2} + \frac{\sin 4n\alpha}{4\sin 2\alpha}.\]
Ответ: 1) если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = 0\); если \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = \frac{\sin n\alpha\sin(n + 1)\alpha}{\sin\alpha}\); 2) если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = n\); если \(\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = 0\); если \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = \frac{n}{2} + \frac{\sin 4n\alpha}{4\sin 2\alpha}\).
