Страница 201 номер 27.26, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите сумму: 1) \(S = \cos \alpha + \cos 2\alpha + \ldots + \cos n\alpha\); 2) \(S = \sin \alpha + \sin 3\alpha + \ldots + \sin(2n - 1)\alpha\); 3) \(S = \sin^2 \alpha + \sin^2 2\alpha + \ldots + \sin^2 n\alpha\).
1) Если \(\alpha = 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(\alpha\), \(2\alpha\), …, \(n\alpha\) кратен \(2\pi\), косинус каждого из них равен \(1\), и \(S = n\).
Если \(\alpha \ne 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(\frac{\alpha}{2} \ne \pi k\) и \(\sin\frac{\alpha}{2} \ne 0\); умножим и разделим сумму на \(2\sin\frac{\alpha}{2}\). \[\begin{aligned} 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\alpha &= -\sin\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{3\alpha}{2}; \\ 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos 2\alpha &= -\sin\frac{3\alpha}{2} + \sin\frac{5\alpha}{2}; \\ &\ldots \\ 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos n\alpha &= -\sin\frac{(2n - 1)\alpha}{2} + \sin\frac{(2n + 1)\alpha}{2}. \end{aligned}\] Сумма этих произведений равна \(\sin\frac{(2n + 1)\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n + 1)\alpha}{2}\), поэтому \[S = \frac{2\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n + 1)\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n + 1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.\]
2) Если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(\alpha\), \(3\alpha\), …, \((2n - 1)\alpha\) кратен \(\pi\), синус каждого из них равен \(0\), и \(S = 0\).
Если \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(\sin\alpha \ne 0\); умножим и разделим сумму на \(2\sin\alpha\). \[\begin{aligned} 2\sin\alpha\sin\alpha &= \cos 0 - \cos 2\alpha = 1 - \cos 2\alpha; \\ 2\sin\alpha\sin 3\alpha &= \cos 2\alpha - \cos 4\alpha; \\ &\ldots \\ 2\sin\alpha\sin(2n - 1)\alpha &= \cos(2n - 2)\alpha - \cos 2n\alpha. \end{aligned}\] Сумма этих произведений равна \(1 - \cos 2n\alpha = 2\sin^2 n\alpha\), поэтому \[S = \frac{2\sin^2 n\alpha}{2\sin\alpha} = \frac{\sin^2 n\alpha}{\sin\alpha}.\]
3) Если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(\alpha\), \(2\alpha\), …, \(n\alpha\) кратен \(\pi\), синус каждого из них равен \(0\), и \(S = 0\).
Пусть \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). \[\begin{aligned} &S = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} + \ldots + \frac{1 - \cos 2n\alpha}{2} = {} \\ &= \frac{n}{2} - \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \ldots + \cos 2n\alpha). \end{aligned}\] Сумма в скобках — сумма пункта 1), в которой вместо \(\alpha\) стоит \(2\alpha\), причём \(2\alpha \ne 2\pi k\). По доказанному в пункте 1): \[\begin{aligned} &\cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \ldots + \cos 2n\alpha = \frac{\sin\frac{n \cdot 2\alpha}{2}\cos\frac{(n + 1) \cdot 2\alpha}{2}}{\sin\frac{2\alpha}{2}} = {} \\ &= \frac{\sin n\alpha\cos(n + 1)\alpha}{\sin\alpha}. \end{aligned}\] Значит, \[S = \frac{n}{2} - \frac{\sin n\alpha\cos(n + 1)\alpha}{2\sin\alpha}.\]
Ответ: 1) если \(\alpha = 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = n\); если \(\alpha \ne 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n + 1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\); 2) если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = 0\); если \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = \frac{\sin^2 n\alpha}{\sin\alpha}\); 3) если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = 0\); если \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = \frac{n}{2} - \frac{\sin n\alpha\cos(n + 1)\alpha}{2\sin\alpha}\).
Вычислите сумму: 1) \(S = \cos \alpha + \cos 2\alpha + \ldots + \cos n\alpha\); 2) \(S = \sin \alpha + \sin 3\alpha + \ldots + \sin(2n - 1)\alpha\); 3) \(S = \sin^2 \alpha + \sin^2 2\alpha + \ldots + \sin^2 n\alpha\).
1) Если \(\alpha = 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(\alpha\), \(2\alpha\), …, \(n\alpha\) кратен \(2\pi\), косинус каждого из них равен \(1\), и \(S = n\).
Если \(\alpha \ne 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(\frac{\alpha}{2} \ne \pi k\) и \(\sin\frac{\alpha}{2} \ne 0\); умножим и разделим сумму на \(2\sin\frac{\alpha}{2}\). Произведения, которые получатся в числителе, преобразуем в суммы по формуле \(\sin x\cos y = \frac{1}{2}(\sin(x - y) + \sin(x + y))\) с учётом нечётности синуса: \[\begin{aligned} 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\alpha &= -\sin\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{3\alpha}{2}; \\ 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos 2\alpha &= -\sin\frac{3\alpha}{2} + \sin\frac{5\alpha}{2}; \\ &\ldots \\ 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos n\alpha &= -\sin\frac{(2n - 1)\alpha}{2} + \sin\frac{(2n + 1)\alpha}{2}. \end{aligned}\] По формуле разности синусов сумма этих произведений равна \(\sin\frac{(2n + 1)\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n + 1)\alpha}{2}\), поэтому \[S = \frac{2\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n + 1)\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n + 1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.\]
2) Если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(\alpha\), \(3\alpha\), …, \((2n - 1)\alpha\) кратен \(\pi\), синус каждого из них равен \(0\), и \(S = 0\).
Если \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(\sin\alpha \ne 0\); умножим и разделим сумму на \(2\sin\alpha\). Произведения, которые получатся в числителе, преобразуем по формуле \(\sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))\) с учётом чётности косинуса: \[\begin{aligned} 2\sin\alpha\sin\alpha &= \cos 0 - \cos 2\alpha = 1 - \cos 2\alpha; \\ 2\sin\alpha\sin 3\alpha &= \cos 2\alpha - \cos 4\alpha; \\ &\ldots \\ 2\sin\alpha\sin(2n - 1)\alpha &= \cos(2n - 2)\alpha - \cos 2n\alpha. \end{aligned}\] По формуле понижения степени сумма этих произведений равна \(1 - \cos 2n\alpha = 2\sin^2 n\alpha\), поэтому \[S = \frac{2\sin^2 n\alpha}{2\sin\alpha} = \frac{\sin^2 n\alpha}{\sin\alpha}.\]
3) Если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то каждый из углов \(\alpha\), \(2\alpha\), …, \(n\alpha\) кратен \(\pi\), синус каждого из них равен \(0\), и \(S = 0\).
Пусть \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). По формуле понижения степени \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\): \[\begin{aligned} &S = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} + \ldots + \frac{1 - \cos 2n\alpha}{2} = {} \\ &= \frac{n}{2} - \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \ldots + \cos 2n\alpha). \end{aligned}\] Сумма в скобках — сумма пункта 1), в которой вместо \(\alpha\) стоит \(2\alpha\), причём \(2\alpha \ne 2\pi k\). По доказанному в пункте 1): \[\begin{aligned} &\cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \ldots + \cos 2n\alpha = \frac{\sin\frac{n \cdot 2\alpha}{2}\cos\frac{(n + 1) \cdot 2\alpha}{2}}{\sin\frac{2\alpha}{2}} = {} \\ &= \frac{\sin n\alpha\cos(n + 1)\alpha}{\sin\alpha}. \end{aligned}\] Значит, \[S = \frac{n}{2} - \frac{\sin n\alpha\cos(n + 1)\alpha}{2\sin\alpha}.\]
Ответ: 1) если \(\alpha = 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = n\); если \(\alpha \ne 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n + 1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\); 2) если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = 0\); если \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = \frac{\sin^2 n\alpha}{\sin\alpha}\); 3) если \(\alpha = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = 0\); если \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то \(S = \frac{n}{2} - \frac{\sin n\alpha\cos(n + 1)\alpha}{2\sin\alpha}\).
