Страница 169 номер 22.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Проведём такие преобразования:
1) \(y = \operatorname{ctg} x \to y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\) — параллельный перенос вдоль оси абсцисс влево на \(\frac{\pi}{4}\) единиц;
2) \(y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \to y = \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\) — сжатие к оси абсцисс в 2 раза;
3) \(y = \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \to y = \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1\) — параллельный перенос вдоль оси ординат вверх на 1 единицу.
Функция определена при \(x + \frac{\pi}{4} \ne \pi n\), то есть при \(x \ne -\frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); асимптоты графика — прямые \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Точке \(\left(\frac{\pi}{2};\ 0\right)\) котангенсоиды при этих преобразованиях отвечает точка \(\left(\frac{\pi}{4};\ 1\right)\) графика, поэтому ветви графика проходят через точки \(\left(\frac{\pi}{4} + \pi n;\ 1\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

2) Так как \(2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\), проведём такие преобразования:
1) \(y = \operatorname{tg} x \to y = \operatorname{tg} 2x\) — сжатие к оси ординат в 2 раза;
2) \(y = \operatorname{tg} 2x \to y = \operatorname{tg} 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\) — параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на \(\frac{\pi}{6}\) единиц.
Главный период функции равен \(\frac{\pi}{2}\). Функция определена при \(2x - \frac{\pi}{3} \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), то есть при \(x \ne \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); асимптоты графика — прямые \(x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\), нули функции — числа \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\).