10класс
Страница 258 Проверь себя, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8. Страница 258, проверь себя
1. Найти значение производной функции \(f(x) = 3x^{3} + 4x - 1\) в точке \(x = 3\).
\(f'(x) = 9x^{2} + 4, f'(3) = 9 \cdot 9 + 4 = 85.\)
2. Найти производную функции:
1) \(\frac{3}{x} + 2\sqrt{x} - e^x\); 2) \((3x - 5)^4\); 3) \(3 \sin 2x \cos x\); 4) \(\frac{x^3}{x^2 + 5}\).
1) \(\frac{3}{x} + 2\sqrt{x} - e^x\); 2) \((3x - 5)^4\); 3) \(3 \sin 2x \cos x\); 4) \(\frac{x^3}{x^2 + 5}\).
1) \(\left(\frac{3}{x} + 2\sqrt{x} - e^{x}\right)' = -\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}} - e^{x};\)
2) \(((3x - 5)^{4})' = 4 \cdot 3(3x - 5)^{3} = 12(3x - 5)^{3};\)
3) \((3 \sin 2x \cos x)' = 3(2 \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x);\)
4) \(\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 5}\right)' = \frac{3x^{2}(x^{2} + 5) - x^{3}2x}{(x^{2} + 5)^{2}} = \frac{3x^{4} + 15x^{2} - 2x^{4}}{(x^{2} + 5)^{2}} = \frac{x^{2}(x^{2} + 15)}{(x^{2} + 5)^{2}}.\)
3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции \(y = \cos 3x\) в точке с абсциссой \(x_{0} = \frac{\pi}{6}\).
\(k = f'(x) = -3 \sin 3x\)
\(f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -3 \sin \dfrac{\pi}{2} = -3.\)
4. Найти угол между касательной к графику функции \(y = x^{4} - 2x^{3} + 3\) в точке с абсциссой \(x_{0} = \frac{1}{2}\) и осью \(Ox\).
\(\operatorname{tg} \alpha = f'(x) = 4x^{3} - 6x^{2}\)
\(f'\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{4}{8} - \dfrac{6}{4} = -1\)
\(\alpha = \operatorname{arctg}(-1) = -\dfrac{\pi}{4}.\)
Решение подготовила Ольга Васильева, учитель математики первой категории
