Страница 172 номер 580, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Доказать, что при всех значениях \(a\), таких, что \(-1 \le a \le 1\), выполняется равенство \(\cos (\arccos a) = a\). Вычислить: 1) \(\cos (\arccos 0{,}2)\); 2) \(\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\); 3) \(\cos\left(\pi + \arccos\frac{3}{4}\right)\); 4) \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos\frac{1}{3}\right)\); 5) \(\sin\left(\arccos\frac{4}{5}\right)\); 6) \(\operatorname{tg}\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\).
\(\arccos a = \alpha\). По определению \(\cos\alpha = a\). Тогда \(\cos\left( \arccos a \right) = a\).
1) \(\cos\left( \arccos{0{,}2} \right) = 0{,}2\);
2) \(\cos\left( \arccos\left(-\frac{2}{3} \right) \right) = - \frac{2}{3}\);
3) \(\cos\left( \pi + \arccos\frac{3}{4} \right) = - \cos\left( \arccos\frac{3}{4} \right) = - \frac{3}{4}\);
4) \(\sin\left( \frac{\pi}{2} + \arccos\frac{1}{3} \right) = \cos\left( \arccos\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}\);
Т.к. \(0 \leqslant \arccos a \leqslant \pi\), то \(\sin\left( \arccos a \right) \geqslant 0\),
а \(\operatorname{tg} \left( \arccos a \right) = \frac{\sin\left( \arccos a \right)}{a} \geqslant 0\) при \(a > 0\).
5) \(\sin\left( \arccos\frac{4}{5} \right) = \sqrt{1 - \cos^{2}\left( \arccos\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}\);
6) \(\operatorname{tg} \left( \arccos\frac{3}{\sqrt{10}} \right) = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\left( \arccos\frac{3}{\sqrt{10}} \right)} - 1} = \sqrt{\frac{10}{9} - 1} = \frac{1}{3}\).
