Страница 178 номер 599, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Доказать, что \(\sin(\arcsin a) = a\) при \(-1 \le a \le 1\). Вычислить: 1) \(\sin\left(\arcsin\frac{1}{7}\right)\); 2) \(\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{5}\right)\right)\); 3) \(\sin\left(\pi + \arcsin\frac{3}{4}\right)\); 4) \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \arcsin\frac{1}{3}\right)\); 5) \(\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)\); 6) \(\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\).
Если \(\arcsin a = \alpha\) и \(\sin\alpha = a\), то \(\sin\left( \arcsin a \right) = a\).
1) \(\sin\left( \arcsin\frac{1}{7} \right) = \frac{1}{7}\);
2) \(\sin\left( \arcsin\left(-\frac{1}{5} \right) \right) = - \frac{1}{5}\);
3) \(\sin\left( \pi + \arcsin\frac{3}{4} \right) = - \sin\left( \arcsin\frac{3}{4} \right) = - \frac{3}{4}\);
4) \(\cos\left( \frac{3\pi}{2} - \arcsin\frac{1}{3} \right) = - \sin\left( \arcsin\frac{1}{3} \right) = - \frac{1}{3}\);
Т.к. \(-\frac{\pi}{2} \leqslant \arcsin a \leqslant \frac{\pi}{2}\), то \(\cos\left( \arcsin a \right) \geqslant 0\).
5) \(\cos\left( \arcsin\frac{4}{5} \right) = \sqrt{1 - \sin^{2}\left( \arcsin\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}\);
6) \(\operatorname{tg} \left( \arcsin\frac{1}{\sqrt{10}} \right) = \frac{\sin\left( \arcsin\frac{1}{\sqrt{10}} \right)}{\cos\left( \arcsin\frac{1}{\sqrt{10}} \right)} =\)
\(= \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1 - \sin^{2}\left( \arcsin\frac{1}{\sqrt{10}} \right)}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\ :\sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{3}\).
