Страница 179 номер 603, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Вычислить (601—603). 1) \(\sin\left(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\); 2) \(\cos\left(\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{4}{5}\right)\).
Т.к. \(-\frac{\pi}{2} \leqslant \arcsin a \leqslant \frac{\pi}{2}\) и \(0 \leqslant \arccos a \leqslant \pi\), то \(\cos\left( \arcsin a \right) \geqslant 0\) и \(\sin\left( \arccos a \right) \geqslant 0\).
1) \(\sin\left( \arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) = \sin\left( \arcsin\frac{1}{3} \right) \cdot \cos\left( \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) +\)
\(+ \cos\left( \arcsin\dfrac{1}{3} \right) \cdot \sin\left( \arccos\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \right) =\)
\(= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3} + \sqrt{1 - \sin^{2}\left( \arcsin\dfrac{1}{3} \right)} \cdot \sqrt{1 - \cos^{2}\left( \arccos\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \right)} =\)
\(= \dfrac{2\sqrt{2}}{9} + \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4\sqrt{2}}{9};\)
2) \(\cos\left( \arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{4}{5} \right) = \cos\left( \arcsin\frac{3}{5} \right) \cdot \cos\left( \arccos\frac{4}{5} \right) -\)
\(- \sin\left( \arcsin\dfrac{3}{5} \right) \cdot \sin\left( \arccos\dfrac{4}{5} \right) = \dfrac{4}{5}\sqrt{1 - \sin^{2}\left( \arcsin\dfrac{3}{5} \right)} -\)
\(- \dfrac{3}{5}\sqrt{1 - \cos^{2}\left( \arccos\dfrac{4}{5} \right)} = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}.\)
