Страница 179 номер 600, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Доказать, что \(\arcsin(\sin \alpha) = \alpha\) при \(-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}\). Вычислить: 1) \(7 \arcsin\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)\); 2) \(4 \arcsin\left(\sin\frac{1}{2}\right)\); 3) \(\arcsin\left(\sin\frac{6\pi}{7}\right)\); 4) \(\arcsin(\sin 5)\).
Если \(\arcsin\left( \sin\alpha \right) = \beta\) и \(\sin\alpha = \sin\beta\), то \(\alpha = \beta\) и \(\arcsin\left( \sin\alpha \right) = \alpha\), т.к. по определению \(-\frac{\pi}{2} \leqslant \beta \leqslant \frac{\pi}{2}\), по условию \(-\frac{\pi}{2} \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{2}\), а на отрезке \(\left[ -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2} \right]\) уравнение \(\sin x = \sin\alpha\) имеет только один корень.
1) \(7\arcsin\left( \sin\frac{\pi}{7} \right) = 7 \cdot \frac{\pi}{7} = \pi\);
2) \(4\arcsin\left( \sin\frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\), т.к. \(-\frac{\pi}{2} \leqslant \frac{1}{2} \leqslant \frac{\pi}{2}\);
3) \(\arcsin\left( \sin\frac{6\pi}{7} \right) = \arcsin\left( \sin\left( \pi - \frac{\pi}{7} \right) \right) = \frac{\pi}{7}\);
4) \(\arcsin\left( \sin 5 \right) = \arcsin\left( \sin(5 - 2\pi) \right) = 5 - 2\pi\), т.к. \(\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi\), т.е. \(-\frac{\pi}{2} < 5 - 2\pi < 0\).
