Вопросы после параграфа §22 на странице 168, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Функция \(y = \operatorname{tg} x\).

Область определения: все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), — в этих точках \(\cos x = 0\), и отношение \(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\) не определено.

Область значений: \(\mathbf{R}\) — уже на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) тангенс принимает все действительные значения.

Периодичность: функция периодическая, её главный период равен \(\pi\).

Нули функции: числа вида \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Промежутки знакопостоянства: \(\operatorname{tg} x > 0\) на каждом из промежутков вида \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\);
\(\operatorname{tg} x < 0\) на каждом из промежутков вида \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Чётность: функция нечётная, \(\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x\) для любого \(x\) из области определения.

Возрастание и убывание: функция возрастает на каждом из промежутков вида \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не принимает.

Функция \(y = \operatorname{ctg} x\).

Область определения: все действительные числа, кроме чисел вида \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), — в этих точках \(\sin x = 0\), и отношение \(\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}\) не определено.

Область значений: \(\mathbf{R}\) — уже на промежутке \((0;\ \pi)\) котангенс принимает все действительные значения.

Периодичность: функция периодическая, её главный период равен \(\pi\).

Нули функции: числа вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Промежутки знакопостоянства: \(\operatorname{ctg} x > 0\) на каждом из промежутков вида \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\);
\(\operatorname{ctg} x < 0\) на каждом из промежутков вида \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Чётность: функция нечётная, \(\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x\) для любого \(x\) из области определения.

Возрастание и убывание: функция убывает на каждом из промежутков вида \((\pi n;\ \pi + \pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не принимает.

Кроме того, функции \(y = \operatorname{tg} x\) и \(y = \operatorname{ctg} x\) не являются ограниченными: каждая из них принимает все действительные значения, поэтому, какое бы число \(M\) ни взять, найдётся \(x\) из области определения, при котором значение функции равно \(M + 1\), а \(|M + 1| > M\).

Ответ: функция \(y = \operatorname{tg} x\) определена при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), её область значений \(\mathbf{R}\), главный период \(\pi\), нули \(\pi n\); \(\operatorname{tg} x > 0\) на промежутках \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\) и \(\operatorname{tg} x < 0\) на промежутках \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi n\right)\); функция нечётная, возрастает на каждом из промежутков \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\), наибольшего и наименьшего значений не принимает. Функция \(y = \operatorname{ctg} x\) определена при \(x \ne \pi n\), её область значений \(\mathbf{R}\), главный период \(\pi\), нули \(\frac{\pi}{2} + \pi n\); \(\operatorname{ctg} x > 0\) на промежутках \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\) и \(\operatorname{ctg} x < 0\) на промежутках \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi n\right)\); функция нечётная, убывает на каждом из промежутков \((\pi n;\ \pi + \pi n)\), наибольшего и наименьшего значений не принимает. Обе функции не являются ограниченными (везде \(n \in \mathbf{Z}\)).