Страница 163 номер 21.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции \(y = 2\cos\left(|x| - \frac{\pi}{3}\right) - 1\).
\(y = \cos x \to y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \to y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \to y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 \to y = 2\cos\left(|x| - \frac{\pi}{3}\right) - 1\).
\(2\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0\) — график проходит через начало координат.
На промежутке \([0;\ 2\pi]\) наибольшее значение \(1\) функция принимает при \(x = \frac{\pi}{3}\), наименьшее значение \(-3\) — при \(x = \frac{4\pi}{3}\), нули функции на нём — \(0\), \(\frac{2\pi}{3}\) и \(2\pi\).
Постройте график функции \(y = 2\cos\left(|x| - \frac{\pi}{3}\right) - 1\).
Проведём такие преобразования:
1) \(y = \cos x \to y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\) — параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на \(\frac{\pi}{3}\) единиц;
2) \(y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \to y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\) — растяжение от оси абсцисс в 2 раза;
3) \(y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \to y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1\) — параллельный перенос вдоль оси ординат вниз на 1 единицу;
4) \(y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 \to y = 2\cos\left(|x| - \frac{\pi}{3}\right) - 1\) — симметрия относительно оси ординат части графика, лежащей в полуплоскости \(x \geqslant 0\).
График проходит через начало координат, так как \(2\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0\). На промежутке \([0;\ 2\pi]\) наибольшее значение \(1\) функция принимает при \(x = \frac{\pi}{3}\), наименьшее значение \(-3\) — при \(x = \frac{4\pi}{3}\), нули функции на нём — \(0\), \(\frac{2\pi}{3}\) и \(2\pi\).
