Страница 163 номер 21.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Функция \(y = \cos x\) чётная, поэтому \(\cos|t| = \cos t\) при любом \(t\); значит, \(2\cos|3x + 2| = 2\cos(3x + 2)\). Так как \(3x + 2 = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)\), проведём такие преобразования:
1) \(y = \cos x \to y = \cos 3x\) — сжатие к оси ординат в 3 раза;
2) \(y = \cos 3x \to y = \cos 3\left(x + \frac{2}{3}\right) = \cos(3x + 2)\) — параллельный перенос вдоль оси абсцисс влево на \(\frac{2}{3}\) единицы;
3) \(y = \cos(3x + 2) \to y = 2\cos(3x + 2)\) — растяжение от оси абсцисс в 2 раза.
График функции \(y = 2\cos|3x + 2|\) совпадает с графиком функции \(y = 2\cos(3x + 2)\). Её главный период равен \(\frac{2\pi}{3}\), наибольшее значение \(2\) она принимает, когда \(3x + 2 = 2\pi n\), то есть в точках \(-\frac{2}{3} + \frac{2\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\).

2) Так как \(\frac{1}{2}x - 1 = \frac{1}{2}(x - 2)\), проведём такие преобразования:
1) \(y = \sin x \to y = \sin\frac{1}{2}x\) — растяжение от оси ординат в 2 раза;
2) \(y = \sin\frac{1}{2}x \to y = \sin\frac{1}{2}(x - 2) = \sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)\) — параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на 2 единицы;
3) \(y = \sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right) \to y = 2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)\) — растяжение от оси абсцисс в 2 раза;
4) \(y = 2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right) \to y = -2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)\) — симметрия относительно оси абсцисс;
5) \(y = -2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right) \to y = -2\sin\left(\frac{1}{2}|x| - 1\right)\) — симметрия относительно оси ординат части графика, лежащей в полуплоскости \(x \geqslant 0\).
При \(x = 2\) аргумент синуса \(\frac{1}{2}x - 1\) равен \(0\), а при \(x = 2 + \pi\) он равен \(\frac{\pi}{2}\): значит, \(x = 2\) — нуль функции, а в точке \(x = 2 + \pi\) функция принимает наименьшее значение \(-2\). Ось ординат график пересекает в точке \((0;\ 2\sin 1)\), так как \(-2\sin(-1) = 2\sin 1\).