Страница 164 номер 21.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = (\sqrt{\cos x})^2\); 2) \(y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x}\); 3) \(y = \sqrt{\sin x - 1}\); 4) \(y = \frac{|\cos x|}{\cos x}\); 5) \(y = \operatorname{ctg} x\,|\sin x|\); 6) \(y = \frac{\sin|x|}{|\sin x|}\).
1) Область определения: \(\cos x \geqslant 0\), то есть \(x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\); при таких \(x\) имеем \((\sqrt{\cos x})^2 = \cos x\).
Значит, график функции — части косинусоиды \(y = \cos x\) на промежутках \(\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\).
2) \(\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|\), поэтому \(y = \sin x - |\sin x|\).
Если \(\sin x \geqslant 0\), то \(y = \sin x - \sin x = 0\).
Если \(\sin x < 0\), то \(y = \sin x + \sin x = 2\sin x\).
Значит, \(y = 0\) на промежутках \([2\pi n;\ \pi + 2\pi n]\) и \(y = 2\sin x\) на промежутках \((\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\).
3) Область определения: \(\sin x - 1 \geqslant 0\), то есть \(\sin x \geqslant 1\); так как \(\sin x \leqslant 1\) при любом \(x\), это возможно только при \(\sin x = 1\), то есть при \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); в этих точках \(y = 0\).
Значит, график функции состоит из точек \(\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ 0\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).
4) Область определения: \(\cos x \ne 0\), то есть \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Если \(\cos x > 0\), то есть \(x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(y = 1\).
Если \(\cos x < 0\), то есть \(x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\), то числитель равен \(-\cos x\) и \(y = -1\).
Концы этих промежутков графику не принадлежат.
5) Область определения: \(\sin x \ne 0\), то есть \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
\(y = \frac{\cos x\,|\sin x|}{\sin x}\).
Если \(\sin x > 0\), то есть \(x \in (2\pi n;\ \pi + 2\pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(y = \cos x\).
Если \(\sin x < 0\), то есть \(x \in (\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(y = -\cos x\).
На каждом из промежутков \((\pi n;\ \pi + \pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\), функция убывает от \(1\) до \(-1\), а концы этих промежутков графику не принадлежат.
6) Область определения: \(\sin x \ne 0\), то есть \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); она симметрична относительно нуля, а \(\sin|-x| = \sin|x|\), \(|\sin(-x)| = |\sin x|\), поэтому функция чётная и её график симметричен относительно оси ординат.
При \(x > 0\) имеем \(y = \frac{\sin x}{|\sin x|}\):
\(y = 1\), если \(\sin x > 0\), то есть \(x \in (2\pi n;\ \pi + 2\pi n)\);
\(y = -1\), если \(\sin x < 0\), то есть \(x \in (\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n)\), \(n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\)
При \(x < 0\) график получаем симметрией относительно оси ординат; точки с абсциссами \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), графику не принадлежат.
Постройте график функции: 1) \(y = (\sqrt{\cos x})^2\); 2) \(y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x}\); 3) \(y = \sqrt{\sin x - 1}\); 4) \(y = \frac{|\cos x|}{\cos x}\); 5) \(y = \operatorname{ctg} x\,|\sin x|\); 6) \(y = \frac{\sin|x|}{|\sin x|}\).
1) Функция \(y = (\sqrt{\cos x})^2\) определена при \(\cos x \geqslant 0\), то есть при \(x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\), и при таких \(x\) имеем \((\sqrt{\cos x})^2 = \cos x\). Значит, график функции — части косинусоиды \(y = \cos x\) на промежутках \(\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\).
2) Так как \(\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|\), то \(y = \sin x - |\sin x|\). Если \(\sin x \geqslant 0\), то есть \(x \in [2\pi n;\ \pi + 2\pi n]\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(y = \sin x - \sin x = 0\). Если \(\sin x < 0\), то есть \(x \in (\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(y = \sin x + \sin x = 2\sin x\). Значит, \(y = 0\) на промежутках \([2\pi n;\ \pi + 2\pi n]\) и \(y = 2\sin x\) на промежутках \((\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\).
3) Функция \(y = \sqrt{\sin x - 1}\) определена при \(\sin x - 1 \geqslant 0\), то есть при \(\sin x \geqslant 1\). Так как \(\sin x \leqslant 1\) при любом \(x\), это возможно только при \(\sin x = 1\), то есть при \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); в этих точках \(y = 0\). Значит, график функции состоит из точек \(\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ 0\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).
4) Функция \(y = \frac{|\cos x|}{\cos x}\) определена при \(\cos x \ne 0\), то есть при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Если \(\cos x > 0\), то есть \(x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\), то числитель равен знаменателю и \(y = 1\). Если \(\cos x < 0\), то есть \(x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\), то числитель равен \(-\cos x\) и \(y = -1\). Концы этих промежутков графику не принадлежат.
5) Функция \(y = \operatorname{ctg} x\,|\sin x|\) определена при \(\sin x \ne 0\), то есть при \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Так как \(\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}\), то \(y = \frac{\cos x\,|\sin x|}{\sin x}\). Если \(\sin x > 0\), то есть \(x \in (2\pi n;\ \pi + 2\pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(y = \cos x\). Если \(\sin x < 0\), то есть \(x \in (\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(y = -\cos x\). На каждом из промежутков \((\pi n;\ \pi + \pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\), функция убывает от \(1\) до \(-1\), а концы этих промежутков графику не принадлежат.
6) Функция \(y = \frac{\sin|x|}{|\sin x|}\) определена при \(\sin x \ne 0\), то есть при \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Её область определения симметрична относительно нуля, а при замене \(x\) на \(-x\) не меняются ни числитель, ни знаменатель: \(\sin|-x| = \sin|x|\), \(|\sin(-x)| = |\sin x|\). Значит, функция чётная и её график симметричен относительно оси ординат. При \(x > 0\) имеем \(y = \frac{\sin x}{|\sin x|}\): \(y = 1\), если \(\sin x > 0\), то есть \(x \in (2\pi n;\ \pi + 2\pi n)\), и \(y = -1\), если \(\sin x < 0\), то есть \(x \in (\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n)\), \(n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\) При \(x < 0\) график получаем симметрией относительно оси ординат; точки с абсциссами \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), графику не принадлежат.
