Страница 164 номер 21.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \left|\cos\left(2|x| - \frac{\pi}{3}\right)\right|\); 2) \(y = \left|\sin\left(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}\right)\right|\).
1) \(2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\).
\(y = \cos x \to y = \cos 2x \to y = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \to y = \cos\left(2|x| - \frac{\pi}{3}\right) \to y = \left|\cos\left(2|x| - \frac{\pi}{3}\right)\right|\).
\(\left|\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right| = \frac{1}{2}\) — график пересекает ось ординат в точке \(\left(0;\ \frac{1}{2}\right)\).
При \(x \geqslant 0\) наибольшее значение \(1\) функция принимает в точках \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}\), а нули функции — числа \(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\), \(n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\)
2) \(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\).
\(y = \sin x \to y = \sin\frac{1}{2}x \to y = \sin\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}\right) \to y = \sin\left(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}\right) \to y = \left|\sin\left(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}\right)\right|\).
\(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) — график пересекает ось ординат в точке \(\left(0;\ \frac{1}{2}\right)\).
При \(x \geqslant 0\) наибольшее значение \(1\) функция принимает в точках \(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), а нули функции — числа \(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n\), \(n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\)
Постройте график функции: 1) \(y = \left|\cos\left(2|x| - \frac{\pi}{3}\right)\right|\); 2) \(y = \left|\sin\left(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}\right)\right|\).
1) Запишем \(2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\) и проведём такие преобразования:
1) \(y = \cos x \to y = \cos 2x\) — сжатие к оси ординат в 2 раза;
2) \(y = \cos 2x \to y = \cos 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\) — параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на \(\frac{\pi}{6}\) единиц;
3) \(y = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \to y = \cos\left(2|x| - \frac{\pi}{3}\right)\) — симметрия относительно оси ординат части графика, лежащей в полуплоскости \(x \geqslant 0\);
4) \(y = \cos\left(2|x| - \frac{\pi}{3}\right) \to y = \left|\cos\left(2|x| - \frac{\pi}{3}\right)\right|\) — симметрия относительно оси абсцисс части графика, лежащей в полуплоскости \(y < 0\).
График пересекает ось ординат в точке \(\left(0;\ \frac{1}{2}\right)\), так как \(\left|\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right| = \frac{1}{2}\). При \(x \geqslant 0\) наибольшее значение \(1\) функция принимает в точках \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}\), а нули функции — числа \(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\), \(n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\)
2) Запишем \(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\) и проведём такие преобразования:
1) \(y = \sin x \to y = \sin\frac{1}{2}x\) — растяжение от оси ординат в 2 раза;
2) \(y = \sin\frac{1}{2}x \to y = \sin\frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}\right)\) — параллельный перенос вдоль оси абсцисс влево на \(\frac{\pi}{3}\) единиц;
3) \(y = \sin\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}\right) \to y = \sin\left(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}\right)\) — симметрия относительно оси ординат части графика, лежащей в полуплоскости \(x \geqslant 0\);
4) \(y = \sin\left(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}\right) \to y = \left|\sin\left(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}\right)\right|\) — симметрия относительно оси абсцисс части графика, лежащей в полуплоскости \(y < 0\).
График пересекает ось ординат в точке \(\left(0;\ \frac{1}{2}\right)\), так как \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\). При \(x \geqslant 0\) наибольшее значение \(1\) функция принимает в точках \(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), а нули функции — числа \(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n\), \(n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\)
