Страница 163 номер 21.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Так как \(2x - 1 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)\), проведём такие преобразования:
1) \(y = \sin x \to y = \sin|x|\) — симметрия относительно оси ординат части графика, лежащей в полуплоскости \(x \geqslant 0\);
2) \(y = \sin|x| \to y = \sin|2x|\) — сжатие к оси ординат в 2 раза;
3) \(y = \sin|2x| \to y = 3\sin|2x|\) — растяжение от оси абсцисс в 3 раза;
4) \(y = 3\sin|2x| \to y = 3\sin\left|2\left(x - \frac{1}{2}\right)\right| = 3\sin|2x - 1|\) — параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на \(\frac{1}{2}\) единицы.
Прямая \(x = \frac{1}{2}\) — ось симметрии графика; ближайшие к ней точки, в которых функция принимает наибольшее значение \(3\), — \(x = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}\) и \(x = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\) (в них \(|2x - 1| = \frac{\pi}{2}\)).

2) Так как \(2x + \frac{\pi}{3} = 2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\), проведём такие преобразования:
1) \(y = \cos x \to y = \cos 2x\) — сжатие к оси ординат в 2 раза;
2) \(y = \cos 2x \to y = \cos 2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)\) — параллельный перенос вдоль оси абсцисс влево на \(\frac{\pi}{6}\) единиц;
3) \(y = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \to y = \frac{1}{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)\) — сжатие к оси абсцисс в 2 раза;
4) \(y = \frac{1}{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \to y = \frac{1}{2}\cos\left(2|x| + \frac{\pi}{3}\right)\) — симметрия относительно оси ординат части графика, лежащей в полуплоскости \(x \geqslant 0\).
График пересекает ось ординат в точке \(\left(0;\ \frac{1}{4}\right)\), так как \(\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{4}\). На промежутке \([0;\ \pi]\) нули функции — \(\frac{\pi}{12}\) и \(\frac{7\pi}{12}\), наименьшее значение \(-\frac{1}{2}\) функция принимает при \(x = \frac{\pi}{3}\), наибольшее значение \(\frac{1}{2}\) — при \(x = \frac{5\pi}{6}\).