10класс
Страница 282 номер 951, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Глава 9. Применение производной к исследованию функций. §52. Наибольшее и наименьшее значения функции. Страница 282. Номер 951
Задание / условие:
Найти на параболе \(y = x^2\) точку, ближайшую к точке \(A(2;\ 0{,}5)\).
Решение:
Обозначим координаты точки \(B(x;\ x^{2})\). Тогда расстояние между ними \(\sqrt{(x - x_{A})^{2} + (y - y_{A})^{2}} = \sqrt{(x - 2)^{2} + \left(x^{2} - \frac{1}{2}\right)^{2}} =\)
\(= \sqrt{x^{2} - 4x + 4 + x^{4} - x^{2} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{x^{4} - 4x + 4\dfrac{1}{4}},\)
\(\left(\sqrt{x^{4} - 4x + 4\dfrac{1}{4}}\right)' = \dfrac{4x^{3} - 4}{2\sqrt{x^{4} - 4x + 4\dfrac{1}{4}}}\)
\(4x^{3} - 4 = 0\), \(x = 1\) – единственная стационарная точка, при переходе через неё производная меняет знак с «–» на «+» (знаменатель положителен), значит, \(x = 1\) – точка минимума.
Тогда ближайшая точка – \(B(1;\ 1)\).
Решение подготовила Ольга Васильева, учитель математики первой категории
