Страница 276 номер 935, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Построить график функции \(y = \frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3}\). Сколько действительных корней имеет уравнение \(\frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3} = C\) при различных значениях \(C\)?
\(y = \dfrac{x^{3} - 4}{(x - 1)^{3}}\)
1. Область определения: \(x \neq 1\);
2. \(y'(x) = \frac{3x^{2}(x - 1)^{3} - 3(x - 1)^{2}(x^{3} - 4)}{(x - 1)^{6}} =\)
\(= \dfrac{3x^{3} - 3x^{2} - 3x^{3} + 12}{(x - 1)^{4}} = \dfrac{3(4 - x^{2})}{(x - 1)^{4}},\)
\(\dfrac{3(4 - x^{2})}{(x - 1)^{4}} = 0, 4 - x^{2} = 0, x = \pm 2.\)
Возрастает при \(-2 < x < 1\) и \(1 < x < 2\); убывает при \(x < -2\) и \(x > 2\);
\(x = -2\) – точка минимума; \(x = 2\) – точка максимума;
\(y(-2) = \dfrac{-12}{-27} = \dfrac{4}{9}, y(2) = \dfrac{4}{1} = 4.\)
\(y - 1 = \dfrac{x^{3} - 4 - (x - 1)^{3}}{(x - 1)^{3}} = \dfrac{3x^{2} - 3x - 3}{(x - 1)^{3}} = \dfrac{3(x^{2} - x - 1)}{(x - 1)^{3}};\)
\(y = 1\) при \(x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\);
\(y < 1\) при \(x < -2\), \(y > 1\) при \(x > 2\);
\(y \to 1\) при \(x \to \pm\infty\); \(y \to +\infty\) при \(x \to 1\) слева, \(y \to -\infty\) при \(x \to 1\) справа.
\(C\) – сдвиг по оси \(y\). Один корень при \(c < \frac{4}{9}\), \(c > 4\). Два корня при \(c = \frac{4}{9}\), \(c = 1\), \(c = 4\). Три корня при \(\frac{4}{9} < c < 1\), \(1 < c < 4\).
