Страница 256 номер 865, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке общую касательную. Написать уравнение этой касательной: 1) \(y = x^4\) и \(y = x^6 + 2x^2\); 2) \(y = x^4\) и \(y = x^3 - 3x^2\); 3) \(y = (x + 2)^2\) и \(y = 2 - x^2\); 4) \(y = x(2 + x)\) и \(y = x(2 - x)\).
1) \(y = x^{4}\) и \(y = x^{6} + 2x^{2}\)
\(x^{4} = x^{6} + 2x^{2}\)
\(x^{2}(x^{4} - x^{2} + 2) = 0\)
\(x_{1} = 0\)
\(D = 1 - 8 < 0\) – одна общая точка.
\(y_{1}(0) = 0\)
\(y'_{1}(0) = 0\)
\(y = 0 + 0(x - 0) = 0;\)
\(y_{2}(0) = 0\)
\(y'_{2}(0) = 0\)
\(y = 0 + 0(x - 0) = 0.\)
Общая касательная – \(y = 0\).
2) \(y = x^{4}\) и \(y = x^{3} - 3x^{2}\)
\(x^{4} = x^{3} - 3x^{2}\)
\(x^{2}(x^{2} - x + 3) = 0\)
\(x_{1} = 0\)
\(D = 1 - 12 < 0\) – одна общая точка;
\(y_{1}(0) = 0\)
\(y'_{1}(0) = 0\)
\(y = 0 + 0(x - 0) = 0;\)
\(y_{2}(0) = 0\)
\(y'_{2}(0) = 0\)
\(y = 0 + 0(x - 0) = 0.\)
Общая касательная – \(y = 0\).
3) \(y = (x + 2)^{2}\) и \(y = 2 - x^{2}\)
\((x + 2)^{2} = 2 - x^{2}\)
\(x^{2} + 4x + 4 - 2 + x^{2} = 0\)
\(x^{2} + 2x + 1 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = -1\) – одна общая точка;
\(y_{1}(-1) = 1\)
\(y'_{1}(-1) = 2\)
\(y = 1 + 2(x + 1) = 2x + 3;\)
\(y_{2}(-1) = 1\)
\(y'_{2}(-1) = 2\)
\(y = 1 + 2(x + 1) = 2x + 3.\)
Общая касательная: \(y = 2x + 3\).
4) \(y = x(2 + x)\) и \(y = x(2 - x)\)
\(x(2 + x) = x(2 - x)\)
\(2x + x^{2} - 2x + x^{2} = 0\)
\(2x^{2} = 0\)
\(x = 0\) – одна общая точка;
\(y_{1}(0) = 0\)
\(y'_{1}(0) = 2\)
\(y = 0 + 2(x - 0) = 2x;\)
\(y_{2}(0) = 0\)
\(y'_{2}(0) = 2\)
\(y = 0 + 2(x - 0) = 2x.\)
Общая касательная: \(y = 2x\).
