Страница 250 номер 855, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Найти значения \(x\), при которых значение производной функции \(f(x)\) равно нулю; положительно; отрицательно: 1) \(f(x) = x - \ln x\); 2) \(f(x) = x \ln x\); 3) \(f(x) = x^2 \ln x\); 4) \(f(x) = x^3 - 3\ln x\).
1) \(f(x) = x - \ln x, x > 0\)
\(f'(x) = 1 - \frac{1}{x}, f'(x) = 0\) при \(x = 1\);
\(f'(x) > 0\) при \(\frac{x - 1}{x} > 0, x(x - 1) > 0, x \in (1;\ +\infty)\);
\(f'(x) < 0\) при \(\frac{x - 1}{x} < 0, x \in (0;\ 1)\);
2) \(f(x) = x\ln x\)
\(f'(x) = \ln x + 1, x > 0\)
\(f'(x) = 0\) при \(\ln x = -1, x = e^{-1}\);
\(f'(x) > 0\) при \(x > e^{-1}\);
\(f'(x) < 0\) при \(x \in (0;\ e^{-1})\);
3) \(f(x) = x^{2}\ln x\)
\(f'(x) = 2x\ln x + x, x > 0\)
\(f'(x) = 0\) при \(x(2\ln x + 1) = 0, x_{1} = 0\) – не подходит,
\(\ln x = -\dfrac{1}{2}, x_{2} = e^{-\frac{1}{2}};\)
\(f'(x) > 0\) при \(x \in \left(\frac{1}{\sqrt{e}};\ +\infty\right)\);
\(f'(x) < 0\) при \(x \in \left(0;\ \frac{1}{\sqrt{e}}\right)\);
4) \(f(x) = x^{3} - 3\ln x\)
\(f'(x) = 3x^{2} - \dfrac{3}{x}, x > 0\)
\(f'(x) = 0\) при \(3x^{3} - 3 = 0, x = 1\);
\(f'(x) > 0\) при \(x \in (1;\ +\infty)\);
\(f'(x) < 0\) при \(x \in (0;\ 1)\).
