Страница 112 номер 367, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

\(4^{x}\left(\sqrt{16^{1 - x} - 1} + 2\right) < 4|4^{x} - 1|\)
\(4^{x} \cdot \sqrt{16^{1 - x} - 1} < 4|4^{x} - 1| - 2 \cdot 4^{x},\)
\(\begin{cases} 16^{1 - x} - 1 \geqslant 0 \\ 4|4^{x} - 1| - 2 \cdot 4^{x} > 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 16^{1 - x} \geqslant 1 \\ 2|4^{x} - 1| > 4^{x} \end{cases}\)
\(\begin{cases} 1 - x \geqslant 0 \\ 4^{x} > 2 \end{cases},\)
\(\begin{cases} x \leqslant 1 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}, \frac{1}{2} < x \leqslant 1\) или \(\begin{cases} x \leqslant 1 \\ 4^{x} < \frac{2}{3} \end{cases}, x < \log_{4} \frac{2}{3}\).

При \(x < \log_{4} \frac{2}{3}\): \(4^{x}\sqrt{16^{1 - x} - 1} < 4(1 - 4^{x}) - 2 \cdot 4^{x}\),

\(4^{x}\sqrt{16^{1 - x} - 1} < 4 - 6 \cdot 4^{x},\)
\(16^{x}(16^{1 - x} - 1) < 16 - 48 \cdot 4^{x} + 36 \cdot 16^{x},\)
\(4^{x} = z, 37z^{2} - 48z > 0,\)
\(z > \dfrac{48}{37};\)
\(\begin{cases} x < \log_{4} \frac{2}{3} \\ 4^{x} > \frac{48}{37} \end{cases}\) – решений нет;

При \(\frac{1}{2} < x \leqslant 1\): \(4^{x}\sqrt{16^{1 - x} - 1} < 4(4^{x} - 1) - 2 \cdot 4^{x}\);

\(4^{x}\sqrt{16^{1 - x} - 1} < 2 \cdot 4^{x} - 4,\)
\(16^{x}(16^{1 - x} - 1) < 4 \cdot 16^{x} - 16 \cdot 4^{x} + 16,\)
\(4^{x} = z, 5z^{2} - 16z > 0,\)
\(z > \dfrac{16}{5},\)
\(\begin{cases} \frac{1}{2} < x \leqslant 1 \\ 4^{x} > \frac{16}{5} \end{cases},\)
\(\log_{4} 16 - \log_{4} 5 = 2 - \log_{4} 5,\)
\(2 - \log_{4} 5 < x \leqslant 1.\)