Страница 108 номер 344, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Решить уравнение (343—345). 1) \(\log_{4} ((x + 2)(x + 3)) + \log_{4} \frac{x - 2}{x + 3} = 2\); 2) \(\log_{2} \frac{x - 1}{x + 4} + \log_{2} ((x - 1)(x + 4)) = 2\); 3) \(\log_{3} x^2 - \log_{3} \frac{x}{x + 6} = 3\); 4) \(\log_{2} \frac{x + 4}{x} + \log_{2} x^2 = 5\).
1) \(\log_{4}\left((x + 2)(x + 3)\right) + \log_{4} \frac{x - 2}{x + 3} = 2\)
\(\log_{4}(x^{2} - 4) = \log_{4} 4^{2},\)
\(x^{2} - 4 = 16,\)
\(x^{2} = 20,\)
\(x_{1{,}2} = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5};\)
Проверка: \(2\sqrt{5} = \sqrt{20} > 3\), поэтому
при \(x = 2\sqrt{5}\) все числа \(x + 2\), \(x + 3\), \(x - 2\) положительны,
а при \(x = -2\sqrt{5}\) все отрицательны;
в обоих случаях \((x + 2)(x + 3) > 0\) и \(\frac{x - 2}{x + 3} > 0\) – корни.
2) \(\log_{2} \frac{x - 1}{x + 4} + \log_{2}\left((x - 1)(x + 4)\right) = 2\)
\(\log_{2}(x - 1)^{2} = \log_{2} 2^{2},\)
\(x^{2} - 2x + 1 = 4,\)
\(x^{2} - 2x - 3 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2},\)
\(x_{1} = 3, x_{2} = -1\) – не подходит;
\(x = 3;\)
Проверка: при \(x = -1\) \((x - 1)(x + 4) < 0\) – не подходит; при \(x = 3\) \(\frac{x - 1}{x + 4} > 0\), \((x - 1)(x + 4) > 0\) – корень.
3) \(\log_{3} x^{2} - \log_{3} \frac{x}{x + 6} = 3\)
\(\log_{3} x(x + 6) = \log_{3} 3^{3},\)
\(x^{2} + 6x = 27,\)
\(x^{2} + 6x - 27 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2},\)
\(x_{1} = 3, x_{2} = -9;\)
Проверка: при \(x = 3\) \(x^{2} > 0\), \(\frac{x}{x + 6} = \frac{1}{3} > 0\) – корень;
при \(x = -9\) \(x^{2} > 0\), \(\frac{x}{x + 6} = 3 > 0\) – корень.
4) \(\log_{2} \frac{x + 4}{x} + \log_{2} x^{2} = 5\)
\(\log_{2} x(x + 4) = \log_{2} 2^{5},\)
\(x^{2} + 4x - 32 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2},\)
\(x_{1} = 4, x_{2} = -8.\)
Проверка: при \(x = 4\) \(\frac{x + 4}{x} = 2 > 0\), \(x^{2} > 0\) – корень; при \(x = -8\) \(\frac{x + 4}{x} = \frac{1}{2} > 0\), \(x^{2} > 0\) – корень.
