Страница 114 Проверь себя, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\log_{5} 125 = \log_{5} 5^{3} = 3;\)

2) \(\lg 0{,}01 = \lg 10^{-2} = -2;\)

3) \(2^{\log_{2} 3} = 3;\)

4) \(3^{2\log_{3} 7} = 7^{2} = 49;\)

5) \(\log_{2} 68 - \log_{2} 17 = \log_{2} \frac{68}{17} = \log_{2} 2^{2} = 2.\)

1) \(y = \log_{0{,}2} x;\)

2) \(y = \log_{2} x\)

1) \(\log_{0{,}2} 3\) и \(\log_{0{,}2} 2{,}5\)
\(0{,}2 < 1, 3 > 2{,}5,\)
\(\log_{0{,}2} 3 < \log_{0{,}2} 2{,}5;\)

2) \(\log_{2} 0{,}7\) и \(\log_{2} 1{,}2\)
\(2 > 1, 1{,}2 > 0{,}7,\)
\(\log_{2} 0{,}7 < \log_{2} 1{,}2.\)

1) \(\log_{5}(3x + 1) = 2\)
\(\log_{5}(3x + 1) = \log_{5} 5^{2},\)
\(3x + 1 = 25,\)
\(3x = 24,\)
\(x = 8;\)

2) \(\log_{3}(x + 2) + \log_{3} x = 1\)
\(\log_{3} x(x + 2) = \log_{3} 3,\)
\(x^{2} + 2x - 3 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2},\)
\(x_{1} = 1, x_{2} = -3\) – не подходит;

Проверка: при \(x = -3\) \(x < 0\) – не подходит;

при \(x = 1\) \(x > 0\), \(x + 2 > 0\) – корень.

3) \(\ln(x^{2} - 6x + 9) = \ln 3 + \ln(x + 3)\)
\(\ln(x^{2} - 6x + 9) = \ln 3(x + 3),\)
\(x^{2} - 6x + 9 = 3x + 9,\)
\(x^{2} - 9x = 0,\)
\(x_{1} = 0, x_{2} = 9.\)

Проверка: при \(x = 0\) \(x^{2} - 6x + 9 = 9 > 0\), \(x + 3 = 3 > 0\) – корень; при \(x = 9\) \(x^{2} - 6x + 9 = 36 > 0\), \(x + 3 = 12 > 0\) – корень.

\(\begin{cases} \ln x - \ln y = \ln 3 \\ x - 2y = 5 \end{cases}, \begin{cases} \frac{x}{y} = 3 \\ x = 5 + 2y \end{cases}, \begin{cases} x = 3y \\ 3y = 5 + 2y \end{cases}, \begin{cases} x = 15 \\ y = 5 \end{cases}.\)

Проверка: \(x = 15 > 0\), \(y = 5 > 0\) – решение.

1) \(\log_{3}(x - 1) \leqslant 2\)

Область определения – \(x > 1\);

\(\log_{3}(x - 1) \leqslant \log_{3} 3^{2},\)
\(x - 1 \leqslant 9,\)
\(x \leqslant 10;\)
\(1 < x \leqslant 10;\)

2) \(\log_{\frac{1}{5}}(2 - x) > -1\)

Область определения – \(x < 2\);

\(\log_{\frac{1}{5}}(2 - x) > \log_{\frac{1}{5}}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-1},\)
\(0 < \frac{1}{5} < 1\), функция \(y = \log_{\frac{1}{5}} x\) убывает, поэтому
\(2 - x < 5,\)
\(x > -3;\)
\(-3 < x < 2.\)