Страница 109 номер 352, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\sqrt{\log_{x} 25 + 3} = \frac{1}{\log_{5} x}\)
\(\sqrt{\log_{x} 25 + 3} = \dfrac{1}{\dfrac{\log_{x} x}{\log_{x} 5}},\)
\(\sqrt{\log_{x} 25 + 3} = \log_{x} 5,\)
\(\log_{x}^{2} 5 - 2\log_{x} 5 - 3 = 0,\)
\(\log_{x} 5 = z, z^{2} - 2z - 3 = 0,\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2},\)
\(z_{1} = 3, z_{2} = -1;\)
\(\log_{x} 5 = \log_{x} x^{-1},\)
\(x = \frac{1}{5}\) – не подходит;
\(\log_{x} 5 = \log_{x} x^{3},\)
\(x^{3} = 5,\)
\(x = \sqrt[3]{5};\)

Проверка: при \(x = \frac{1}{5}\) правая часть \(\log_{x} 5 = -1 < 0\), а левая неотрицательна – не подходит; при \(x = \sqrt[3]{5}\) \(\log_{x} 5 = 3 > 0\) – корень.

2) \(\sqrt{2\log_{2}^{2} x + 3\log_{2} x - 5} = \log_{2}(2x)\)
\(\sqrt{2\log_{2}^{2} x + 3\log_{2} x - 5} = 1 + \log_{2} x,\)
\(2\log_{2}^{2} x + 3\log_{2} x - 5 = 1 + 2\log_{2} x + \log_{2}^{2} x,\)
\(\log_{2}^{2} x + \log_{2} x - 6 = 0,\)
\(\log_{2} x = z, z^{2} + z - 6 = 0,\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2},\)
\(z_{1} = 2, z_{2} = -3;\)
\(\log_{2} x = \log_{2} 2^{2}, x = 4;\)
\(\log_{2} x = \log_{2} 2^{-3}, x = \frac{1}{8}\) – не подходит.

Проверка: при \(x = \frac{1}{8}\) правая часть \(1 + \log_{2} x = -2 < 0\), а левая неотрицательна – не подходит; при \(x = 4\) \(1 + \log_{2} x = 3 > 0\) – корень.