Страница 112 номер 361, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\lg(x^{2} - 8x + 13) > 0\)
\(\lg(x^{2} - 8x + 13) > \lg 1,\)
\(x^{2} - 8x + 13 > 1,\)
\(x^{2} - 8x + 12 > 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2},\)
\(x_{1} = 6,\ x_{2} = 2;\)
\(x < 2\) и \(x > 6\);

2) \(\log_{\frac{1}{5}}(x^{2} - 5x + 7) < 0\)
\(\log_{\frac{1}{5}}(x^{2} - 5x + 7) < \log_{\frac{1}{5}} 1,\)
\(0 < \frac{1}{5} < 1\), функция \(y = \log_{\frac{1}{5}} x\) убывает, поэтому
\(x^{2} - 5x + 7 > 1,\)
\(x^{2} - 5x + 6 > 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2},\)
\(x_{1} = 3,\ x_{2} = 2;\)
\(x < 2\) и \(x > 3\);

3) \(\log_{2}(x^{2} + 2x) < 3\)
\(\log_{2}(x^{2} + 2x) < \log_{2} 2^{3}\)
\(x^{2} + 2x < 8\)
\(\begin{cases} x^{2} + 2x - 8 < 0 \\ x(x + 2) > 0 \end{cases},\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2},\)
\(x_{1} = 2,\ x_{2} = -4;\)
\(x_{3} = 0,\ x_{4} = -2;\)
\(-4 < x < -2\) и \(0 < x < 2\);

4) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^{2} - 5x - 6) \geqslant -3\)
\(\log_{\frac{1}{2}}(x^{2} - 5x - 6) \geqslant \log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-3}\)
\(0 < \frac{1}{2} < 1\), функция \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) убывает, поэтому
\(\begin{cases} x^{2} - 5x - 6 \leqslant 8 \\ x^{2} - 5x - 6 > 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^{2} - 5x - 14 \leqslant 0 \\ x^{2} - 5x - 6 > 0 \end{cases},\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2},\)
\(x_{1} = 7,\ x_{2} = -2;\)
\(x_{3{,}4} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2},\)
\(x_{3} = 6,\ x_{4} = -1;\)
\(-2 \leqslant x < -1\) и \(6 < x \leqslant 7\).